Inhomogene DGL mit sin^2 und cos^2

30.06.2014, 12:20

Maisinator

Inhomogene DGL mit sin^2 und cos^2

Hallo,

ich möchte zu folgender DGL die allgemeine Lösung bestimmen
$\begin{eqnarray*} y'+8y=4sin^{2}(ax)-8sin^2(ax) \end{eqnarray*}$
a ist dabei ein bekannter Parameter.

Als Lösung der homogenen DGL habe ich bereits
$\begin{eqnarray*} y_{0}= Ce^{-8x} \end{eqnarray*}$
heraus.

Jetzt weiß ich aber nicht, wie mein Lösungsansatz für die Störfunktion aussehen muss. Meine Formelsammlung stellt mir für $\begin{eqnarray*} Asin(wx)+Bcos(wx) \end{eqnarray*}$ den Ansatz $\begin{eqnarray*} y_{p}=C_1sin(wx)+C_2cos(wx) \end{eqnarray*}$

Nur hier habe ich ja Sinus und Cosinus ins Quadrat... Wie muss mein Ansatz also aussehen?

30.06.2014, 12:30

HAL 9000

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Zweimal derselbe Term, nur mit unterschiedlichen Vorfaktoren - ist das ein Schreibfehler rechts? Ansonsten kannst du ja da gleich $\begin{eqnarray*} -4\sin^2(ax) \end{eqnarray*}$ schreiben...

Generell: Es ist $\begin{eqnarray*} \sin^2(ax) = \frac{1-\cos(2ax)}{2} \end{eqnarray*}$ , und dann kannst du mit deinen Ansätzen arbeiten.

30.06.2014, 13:11

Maisinator

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Oh ja, da ist ein Fehler... Die Funktion muss heißen
$\begin{eqnarray*} y'+8y=4sin^2(ax)-8cos^2(ax) \end{eqnarray*}$

Wie sieht's nun aus?

30.06.2014, 13:14

HAL 9000

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Auch nicht anders, nur das auch $\begin{eqnarray*} \cos^2(ax) = \frac{1+\cos(2ax)}{2} \end{eqnarray*}$ einbezogen wird.

30.06.2014, 14:36

Maisinator

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Wahnsinn, das lässt sich dann ja richtig easy lösen. Vielen Dank ;-)

Trotzdem habe ich noch eine Frage. In meinem Buch steht ebenfalls, dass für Summen und Produkte von Störfunktionen die Lösungsansätze ebenfalls summiert und multipliziert werden dürfen (in den meisten Fällen). Daher müsste doch
$\begin{eqnarray*} \left(Asin(ax)+Bcos(ax)\right) ^{2} +\left(Csin(ax)+Dcos(ax)\right) ^2 \end{eqnarray*}$

ebenfalls ein Ansatz sein (wenn auch sehr mühsam)?

30.06.2014, 15:25

HAL 9000

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Summen ja, aber Produkte??? Letzteres kann in bestimmten Konstellationen klappen, i.a. kann es aber schiefgehen.