Verkettung von Matrizen

30.06.2014, 12:43

hermann1337

Verkettung von Matrizen

Hallo!

[attach]34728[/attach]

Kann mir jemand vllt. eine grobe Heransgehenweise an diese Aufgabe geben?
Ich weiß gar nicht was ich da machen soll... Bin mir relativ sicher, dass es wieder auf die Jacobi Matrix bei der Ableitungsmatrix hinauslaufen wird, aber wie verkette ich überhaupt die Matrizen um dorthin zu gelangen?

Meine Vorgehensweise wäre jetzt die Funktionen f und g erstmal partiell abzuleiten und dann in diese Form zu bringen

[attach]34729[/attach]

30.06.2014, 13:00

klarsoweit

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RE: Verkettung von Matrizen
Wenn ich die Aufgabe richtig verstehe, bildest du erst die Verkettungen und dann jeweils die Ableitungsmatrix.

Ein alternativer Weg wäre die Anwendung der Kettenregel, aber davon ist in meinen Augen nicht die Rede.

30.06.2014, 13:08

hermann1337

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RE: Verkettung von Matrizen

Zitat:

Original von klarsoweit
Wenn ich die Aufgabe richtig verstehe, bildest du erst die Verkettungen und dann jeweils die Ableitungsmatrix.

Ein alternativer Weg wäre die Anwendung der Kettenregel, aber davon ist in meinen Augen nicht die Rede.

Ja so wollte ich auch Vorgehen.

Nur verstehe ich nicht so ganz wie ich die Verkettung herstelle, wenn ich 2 Matrizen gegeben habe.

30.06.2014, 13:11

klarsoweit

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RE: Verkettung von Matrizen
Die Abbildungen f und g bilden nicht auf Matrizen, sondern auf Vektoren im R² ab. Als erstes mußt du mal die beiden Verkettungen bilden, was ja wohl kein großes Problem darstellt.

30.06.2014, 13:21

hermann1337

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RE: Verkettung von Matrizen

Zitat:

Original von klarsoweit
Die Abbildungen f und g bilden nicht auf Matrizen, sondern auf Vektoren im R² ab. Als erstes mußt du mal die beiden Verkettungen bilden, was ja wohl kein großes Problem darstellt.

genau da liegt mein Problem. An sich ist das bestimmt nicht schwierig, aber ich weiß grad einfach nicht wie ich damit umgehen soll/ einen Anfang finden.

30.06.2014, 13:26

klarsoweit

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RE: Verkettung von Matrizen
Dann fangen wir mal mit $\begin{eqnarray*} (f \circ g)(s,t) \end{eqnarray*}$ an. Setze dazu $\begin{eqnarray*} (x,y) := g(s,t) = \begin{pmatrix} s^2 + t^2 \\ -s^2 + t^2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ als Argument in f(x,y) ein.

30.06.2014, 13:36

hermann1337

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RE: Verkettung von Matrizen

Zitat:

Original von klarsoweit
Dann fangen wir mal mit $\begin{eqnarray*} (f \circ g)(s,t) \end{eqnarray*}$ an. Setze dazu $\begin{eqnarray*} (x,y) := g(s,t) = \begin{pmatrix} s^2 + t^2 \\ -s^2 + t^2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ als Argument in f(x,y) ein.

Dann bekomme ich diese Matrix raus

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} s^2 + t^2 \\ -s^2 - t^2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

30.06.2014, 14:06

klarsoweit

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RE: Verkettung von Matrizen
Schau es dir nochmal an. Es ist doch $\begin{eqnarray*} f(x,y) = \begin{pmatrix} x + y \\ x -y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Wegen $\begin{eqnarray*} (x,y) = \begin{pmatrix} s^2 + t^2 \\ -s^2 + t^2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mußt du doch nur x = s² + t² und y = -s² + t² einsetzen.

30.06.2014, 15:36

hermann1337

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RE: Verkettung von Matrizen
das war mist von mir jo^^
also bekomme ich diese matrix

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} s²+t² & -s²+t² \\ s²+t² & s²+t² \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

daraus wird
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2t² \\ 2s²+2t² \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

dies leite ich mit jacobi ab

(f o g)'(s,t)= $\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 0 & 4t \\ 4s & 4t \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

und da hab ich meine ableitunsmatrix für die verkettung

30.06.2014, 15:42

klarsoweit

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RE: Verkettung von Matrizen

Zitat:

Original von hermann1337
also bekomme ich diese matrix

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} s²+t² & -s²+t² \\ s²+t² & s²+t² \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Wenn das eine 2x2-Matrix ist, weiß ich nicht, wie du darauf kommst. Das Bild von f ist doch ein Vektor mit 2 Komponenten.

Zitat:

Original von hermann1337
daraus wird
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2t² \\ 2s²+2t² \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Damit kommen wir der Sache näher, aber die 2. Komponente ist falsch.

30.06.2014, 15:57

hermann1337

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RE: Verkettung von Matrizen
ich habe jetzt einfach für x = s² + t² und y = -s² + t² eingesetzt
hätte das nicht als matrix schreiben sollen das stimmt. ist so falsch
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} s²+t²-s²+t² \\ s²+t²-(-s²+t²)\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

daraus wird dann

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2s² \\ 2t² \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

die Jacobi Matrix angewandt

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 0 & 4t \\ 4s & 0 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

30.06.2014, 18:31

hermann1337

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hat vllt. jemand anders eine ahnung ob das so hinkommen könnte?

30.06.2014, 18:50

URL

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Das
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2s² \\ 2t² \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
ist falsch. Du hast die Zeilen vertauscht

30.06.2014, 18:57

hermann1337

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Zitat:

Original von URL
Das
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2s² \\ 2t² \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
ist falsch. Du hast die Zeilen vertauscht

Ja stimmt! Hab ich aufm Papier zum Glück richtig gemacht Augenzwinkern

Danke mal wieder!

01.07.2014, 10:18

klarsoweit

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RE: Verkettung von Matrizen

Zitat:

Original von hermann1337
daraus wird dann

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2s² \\ 2t² \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

die Jacobi Matrix angewandt

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 0 & 4t \\ 4s & 0 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Mit der Korrektur $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2t^2 \\ 2s^2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ stimmt dann auch die Jacobi-Matrix.

Und wenn man jetzt Spaß hat, kann man das ganze auch mit der Kettenregel rechnen und schauen, ob das gleiche rauskommt. smile

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