Oberfläche Kegel, Oberflächenintegral

30.06.2014, 21:51	kingtippi	Auf diesen Beitrag antworten »
Oberfläche Kegel, Oberflächenintegral Meine Frage: Hallo, ich komme einfach nicht weiter, ich soll die Oberfläche von M (kegelmantel)unter verwendung der Polarkoordinaten bestimmen. $\begin{eqnarray} M=((x,y,z)\|x^2+y^2\leq 1, z=\sqrt{x^2+y^2} ) \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Also denke ich mal mit einem Oberflächenintegral, könntet ihr mir bei der aufstellung der Parameterform behilflich sein? Eigentlich würde ich die zylinderkoordinaten benutzen, aber mit der dann aufgestellten Parameterform, komme ich irgendwie nicht darauf wie ich das als oberflächenintegral schreiben soll :/
01.07.2014, 08:55	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Gegeben ist ein Kegel mit der Höhe h=1 und dem Radius r=1. Die Kegeloberfläche setzt sich zusammen aus einer Kreisfläche mit dem Radius r=1 und einem Kreissektor mit dem Radius $\begin{eqnarray} R=\sqrt{h^2+r^2}=\sqrt{2} \end{eqnarray}$ und mit der Bogenlänge $\begin{eqnarray} b=2\pi r=2\pi \end{eqnarray}$ . Berechne die Flächeninhalte beider Teilflächen in Polarkoordinaten und addieren sie!
01.07.2014, 14:10	kingtippi	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay vielen dank, jetzt muss ich den Fluss des Vektorfeldes: $\begin{eqnarray} f(x,y,z)=(x+y, y-x, z^2)^T \end{eqnarray}$ durch M bestimmen, kann ich dann jede Fläche einzeln betrachten wie bei dem Flächeninhalt? Und muss ich danach den jeweiligen Fluss addieren?
02.07.2014, 09:07	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Richtig, du kannst den Fluss durch beide Teilflächen einzeln berechnen und anschließen addieren. Achte darauf, dass der Normalvektor in beiden Flächen in die gleiche Richtung (nach außen) zeigt, weil sich ansonsten beide Teilflüsse aufheben (zumindest teilweise). Es ist aber einfacher, das Oberflächenintegral mit Hilfe des Gaußschen Satzes in ein Volumenintegral umzuwandeln. Es gilt nämlich $\begin{eqnarray} \text{Fluss}=\underbrace{\oint \vec f\,\,\,d\vec A}_{\text{Oberflächenintegral}}=\underbrace{\int div(\vec f)\,\,dV}_{\text{Volumenintegral}} \end{eqnarray}$ Offenbar ist $\begin{eqnarray} div(\vec f)=div(x+y\|y-x\|z^2)=1+1+2z=2+2z \end{eqnarray}$ Einsetzen in das Volumenintegral liefert in Zylinderkoordinaten $\begin{eqnarray} \text{Fluss}=\int_{r=0}^{1} \int_{z=0}^{r} \int_{\phi=0}^{2\pi} \underbrace{(2+2z)}_{\text{Integrand}}\cdot \underbrace{r}_{\text{Funktionaldeterminante}}\,\,d\phi dz dr \end{eqnarray}$

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