L'Hospital und Grenzwerte

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u44tmp Auf diesen Beitrag antworten »
L'Hospital und Grenzwerte
Hi!

Ich habe folgende zwei Funktionen gegeben:

f(x)=x+sinx cosx


Ich soll zeigen, dass

existiert,
jedoch nicht und ob das im Widerspruch zu den l'Hospitalischen Regeln steht.

Ich kann doch vorher kürzen, oder mache ich da einen Fehler? Das wäre doch dann

= . Ich weiß aber nicht, ob ich hier wirklich kürzen soll.
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das geht. Es ist dann . Mach dir klar, warum dieser Grenzwert nicht existiert smile
u44tmp Auf diesen Beitrag antworten »

Ehrlich gesagt weiß ich das nicht so genau. Der Grenzwert von e wäre e selber. Der Grenzwert von 1/e wäre 0. Bei dieser Funktion stehe ich aber auf dem Schlauch...

Wenn ich das ganze nach l'Hospital ableite, dann erhalte ich ja:



Warum geht das dann ?
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist doch . Für alle gilt und der Grenzwert existiert nicht.
Du könntest jetzt etwa zwei Folgen mit falls und für alle .
Es ginge sowas wie und .
u44tmp Auf diesen Beitrag antworten »

Ach alles klar. Ich hatte meinen Beitrag noch editiert. Warum geht das dann bei der Funktion? der Grenzwert von cosx existiert ja auch nicht. Ich hätte sonst auf Abschätzen getippt.
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Sollte nicht sein und ?
 
 
u44tmp Auf diesen Beitrag antworten »

Tut mir leid, mein Fehler. Ja, aber das macht es irgendwie nicht leichter. Ich wüsste jetzt keinen Ansatz, wie ich da etwas umstellen/kürzen soll um auf den Grenzwert zu kommen... Wie gehe ich das jetzt am besten an?

Ich versuche es mal:



kürzen liefert:



und nun weiß ich nicht mehr weiter. Ich hatte überlegt e^sinx auszuklammern, aber das bringt ja auch nichts.
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Ich will das jetzt nicht alles in Latex setzen, aber man sollte auf kommen.

Das geht, indem man die Identität nutzt.
u44tmp Auf diesen Beitrag antworten »

Wäre der rechte Term nicht immernoch undefiniert?
Außerdem steht da doch cos²x-sin²x. Ist das trotzdem 1?

Edit: Achso, jetzt hab ich das mit der Identität verstanden.
Trotzdem ist der Term nicht undefiniert, da cosx keinen Grenzwert hat? und e^sinx auch nicht?
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Was passiert denn, wenn groß wird? Der Zähler ist beschränkt, und ebenfalls beschränkt- Was bleibt noch übrig?
u44tmp Auf diesen Beitrag antworten »

Dann wäre ja x übrig, was dann in Grenzwert 2*0 resultieren würde, wenn ich das richtig sehe, oder?

Ich verstehe oben deine Umformung noch nicht ganz. Im Zähler bleibt ja 2cos²x stehen. Die 2 wird ja dann vor den Limes geschrieben. Unten steht dann auch 2cos²x. Hast du dann im Zähler und Nenner cosx*cosx geschrieben und das eine cos rausgekürzt? Ich weiß nicht, woher das sinx+2 herkommt. bzw. wieso 2?
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal hab ich natürlich faktorisiert. Wir müssen also noch betrachten. Wie im Nenner vorgehend kommen wir auf .
Den einen kürzen und fertig smile
u44tmp Auf diesen Beitrag antworten »

Ach alles klar! Jetzt hab ich das verstanden! Danke smile

Eine Frage dazu war, ob das ein Widerspruch zu den Regeln von l'Hospital ist. Ich würde sagen nein, weil Bei der Ursprungsfunktion nicht Unendlich/Unendlich oder 0/0 gilt, da der Grenzwert nicht definiert ist. Ist das richtig?

Ich hätte noch eine Verständnisfrage abschließend. wenn "e" für >0 definiert ist und der Sinus ja zwischen -1 und 1 liegt, warum kann ich dann bei der eigentlichen Funktion sagen, dass es nicht definiert ist und bei der Ableitung wiederum die Variable betrachten, die ins unendliche geht und den Rest außer acht lassen?

War meine Aussage über den Grenzwert überhaupt richtig, die ich davor im letzten Post getroffen habe?
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, da hier nicht die Voraussetzungen für L'Hospital erfüllt sind, ist es kein Widerspruch.

Zitat:
Ich hätte noch eine Verständnisfrage abschließend. wenn "e" für >0 definiert ist und der Sinus ja zwischen -1 und 1 liegt, warum kann ich dann bei der eigentlichen Funktion sagen, dass es nicht definiert ist und bei der Ableitung wiederum die Variable betrachten, die ins unendliche geht und den Rest außer acht lassen?

Das verstehe ich nicht. Es ist nicht " definiert für ", sondern für jedes , das lernt man doch schon in der Schule smile
Hier gilt sogar noch mehr: Da die Exponentialfunktion monoton steigt, gilt .
Die Abschätzung ist so auch schön, denn damit folgt .

Zitat:
War meine Aussage über den Grenzwert überhaupt richtig, die ich davor im letzten Post getroffen habe?

Welche denn?
u44tmp Auf diesen Beitrag antworten »

Ja tut mir leid ich meinte e^x smile
Ach ok über Abschätzung. Stimmt ja, die Möglichkeit gab es ja auch noch. Hatte das außer acht gelassen.

Naja der Nenner geht ja dann gegen unendlich und somit der Bruch gegen 0. Multipliziert mit 2 macht nichts aus, also haben wir den Grenzwert 0.
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Naja der Nenner geht ja dann gegen unendlich und somit der Bruch gegen 0. Multipliziert mit 2 macht nichts aus, also haben wir den Grenzwert 0.

Ich würde hier weiter abschätzen, das ist schöner.
u44tmp Auf diesen Beitrag antworten »

Wie weit denn? Darf man eigentlich so viel Abschätzen? Es gibt ja quasi kein "Kochrezept" dafür.
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso sollte man das nicht dürfen?

.

Jetzt musst du nur noch abschätzen.
u44tmp Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde an dieser Stelle einfach mal den Sinus und Cosinus jeweils auf 1 abschätzen und dann zusammenrechnen.
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal würde ich annehmen, das ist ja problemlos möglich.
Dann ist bestimmt , und da bist du fertig.
u44tmp Auf diesen Beitrag antworten »

Ok danke für die Hilfe! smile
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Kein Problem Wink
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Noch eine Anmerkung zum Problem:

Hier im Beispiel ist es leicht nachvollziehbar, aber woher weiß man denn i.a., dass nicht existiert, wenn man doch gerade eben mit L'Hospital diesen Grenzwert erst zu ergründen sucht? smile


Es gibt eine (vermutlich weniger bekannte) Formulierung von L'Hospital, die nicht die Existenz dieses Grenzwertes zur Voraussetzung macht, sondern stattdessen folgendes fordert:

Zitat:
Es existiert eine Umgebung , so dass für alle gilt.

Im vorliegenden Fall ist das nicht erfüllt: Wir haben hier





und als Umgebung von betrachtet man ja Intervalle . Wie groß auch immer man wählt, es findet sich dann aber stets ein mit , einfach die Nullstellen der Kosinusfunktion. Augenzwinkern
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