Reelles Fundamentalsystem

01.07.2014, 09:31

Kulka

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Reelles Fundamentalsystem

Meine Frage:
Ich sollte ein Fundamentalsystem bestimmen zu den Diff-Gl:
y^{(4)} \pm y = 0

Meine Ideen:
Bei der Variante mit + habe ich dieses Fundamentalsystem:
$\begin{eqnarray*} (e^{x} , xe^{x} , x²e^{x} , x³e^{x} ) \end{eqnarray*}$
Problem habe ich bei der Variante mit -.
ich kann das charakteristische Polynom bilden
$\begin{eqnarray*} \lambda^{4} +1=0 \end{eqnarray*}$
Was ist aber die Lösung der Gleichung? Doch nicht i oder -i?

01.07.2014, 10:14

klarsoweit

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RE: Reelles Fundamentalsystem

Zitat:

Original von Kulka
Bei der Variante mit + habe ich dieses Fundamentalsystem:
$\begin{eqnarray*} (e^{x} , xe^{x} , x²e^{x} , x³e^{x} ) \end{eqnarray*}$

Du meinst vermutlich beim Vorzeichen "-".
EDIT: merke gerade, daß das FS eh nicht stimmt (bis auf e^x)

Zitat:

Original von Kulka
Problem habe ich bei der Variante mit -.

Hier ist dann wohl "+" gmeint.

Zitat:

Original von Kulka
$\begin{eqnarray*} \lambda^{4} +1=0 \end{eqnarray*}$
Was ist aber die Lösung der Gleichung? Doch nicht i oder -i?

Nein, wie man leicht nachrechnet. In Frage kommen andere komplexe Zahlen. smile

smile

01.07.2014, 11:56

Kulka

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RE: Reelles Fundamentalsystem
Ja, hab + mit - verwechselt. Und welche andere komplexen Zahlen meinst du?

Gruß

01.07.2014, 12:02

klarsoweit

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RE: Reelles Fundamentalsystem
Na ja, ich hätte schon erwartet, daß du eine Gleichung wie $\begin{eqnarray*} \lambda^4 +1 =0 \end{eqnarray*}$ lösen kannst.

Zur Erinnerung: http://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl#Wurzeln

01.07.2014, 13:04

Kulka

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RE: Reelles Fundamentalsystem
ALso die Lösung der Gleichung ist:
$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{2} }{2} (1\pm i)\\<br /> - \frac{\sqrt{2} }{2} (1\pm i)<br /> \end{eqnarray*}$

01.07.2014, 13:16

klarsoweit

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RE: Reelles Fundamentalsystem
OK. Jetzt kannst du daraus ein Fundamentalsystem aufstellen.

Übrigens liegst du mit deinem Fundamentalsystem für $\begin{eqnarray*} y^{(4)} - y = 0 \end{eqnarray*}$ etwas daneben. Wenn ich das richtig sehe, paßt nur $\begin{eqnarray*} y = e^x \end{eqnarray*}$ von den genannten Lösungen. Es gibt aber noch andere, z.B.: $\begin{eqnarray*} y = e^{-x} \end{eqnarray*}$ . smile

smile

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01.07.2014, 13:28

Kulka

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RE: Reelles Fundamentalsystem
Ja, ich komme zuerst zu der Gleichung $\begin{eqnarray*} y^{(4)}-y=0 \end{eqnarray*}$
Die Lösungen des char. Pol. sind: 1, -1 , i , -1. Also erhalte ich:
$\begin{eqnarray*} (e^{x} ,e^{-x} ,e^{ix} ,e^{-ix} ) \end{eqnarray*}$
Das ist aber noch nicht das reelle Fundamentalsystem, oder?

01.07.2014, 13:34

klarsoweit

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RE: Reelles Fundamentalsystem
Durch Kombination deiner imaginären Lösungen kommst du zu reellen Lösungen, z.B.:
$\begin{eqnarray*} \frac 1 2 \cdot (e^{ix} + e^{-ix}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2i} \cdot (e^{ix} - e^{-ix}) \end{eqnarray*}$ smile

smile

01.07.2014, 13:37

Kulka

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RE: Reelles Fundamentalsystem
Achso...

$\begin{eqnarray*} (\frac 1 2 \cdot (e^{ix} + e^{-ix}), \frac{1}{2i} \cdot (e^{ix} - e^{-ix}) ) \end{eqnarray*}$ ist mein Fundamentalsystem?

01.07.2014, 13:46

klarsoweit

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RE: Reelles Fundamentalsystem
Nun ja, hinzukommen natürlich noch $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} e^{-x} \end{eqnarray*}$ . Außerdem würde ich die beiden obigen Terme noch etwas vereinfachen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

01.07.2014, 13:47

Kulka

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RE: Reelles Fundamentalsystem
$\begin{eqnarray*} (cos x, sin x,\frac 1 2 \cdot (e^{ix} + e^{-ix}), \frac{1}{2i} \cdot (e^{ix} - e^{-ix}) ) \end{eqnarray*}$ ist mein Fundamentalsystem.....

01.07.2014, 14:07

Kulka

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RE: Reelles Fundamentalsystem
Und nochmal zu dem Fall $\begin{eqnarray*} y^{(4)}+y=0 \end{eqnarray*}$
dann ist mein F'system:
$\begin{eqnarray*} (e^{\frac{\sqrt{2} }{2} x} \cos(\frac{\sqrt{2} }{2} x) ,\ e^{\frac{\sqrt{2} }{2} x} \sin(\frac{\sqrt{2} }{2} x) ,\ e^{\frac{-\sqrt{2} }{2} x} \cos(\frac{\sqrt{2} }{2} x) ,\ e^{\frac{-\sqrt{2} }{2} x} \sin(\frac{\sqrt{2} }{2} x) ) \end{eqnarray*}$

01.07.2014, 14:20

klarsoweit

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RE: Reelles Fundamentalsystem
Das ist richtig, allerdings hast du hier:

Zitat:

Original von Kulka
$\begin{eqnarray*} (cos x, sin x,\frac 1 2 \cdot (e^{ix} + e^{-ix}), \frac{1}{2i} \cdot (e^{ix} - e^{-ix}) ) \end{eqnarray*}$ ist mein Fundamentalsystem.....

cos(x) und sin(x) quasi doppelt drin. Richtig ist: $\begin{eqnarray*} (e^x, e^{-x}, cos(x), sin(x)) \end{eqnarray*}$ smile

smile

01.07.2014, 14:25

Kulka

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RE: Reelles Fundamentalsystem
Stimmt, einfach nach der Definition....
und im Fall $\begin{eqnarray*} y^{(4)}+y=0 \end{eqnarray*}$
das F'system:
$\begin{eqnarray*} (e^{\frac{\sqrt{2} }{2} x} \cos(\frac{\sqrt{2} }{2} x) ,\ e^{\frac{\sqrt{2} }{2} x} \sin(\frac{\sqrt{2} }{2} x) ,\ e^{\frac{-\sqrt{2} }{2} x} \cos(\frac{\sqrt{2} }{2} x) ,\ e^{\frac{-\sqrt{2} }{2} x} \sin(\frac{\sqrt{2} }{2} x) ) \end{eqnarray*}$
ist das auch richtig?

01.07.2014, 14:36

klarsoweit

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RE: Reelles Fundamentalsystem
Ich sagte es schon in meinem vorigen Beitrag. Augenzwinkern

Augenzwinkern

01.07.2014, 14:39

Kulka

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RE: Reelles Fundamentalsystem
Danke !!! Wink

Wink

01.07.2014, 15:53

HAL 9000

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Ergänzend sei noch hinzugefügt, dass das ursprünglich angegebene Fundamentalsystem $\begin{eqnarray*} (e^x, xe^x, x^2e^x, x^3e^x) \end{eqnarray*}$ zu einer vierfachen Nullstelle 1 der charakteristischen Gleichung passt, also

$\begin{eqnarray*} 0 = (\lambda-1)^4 = \lambda^4-4\lambda^3+6\lambda^2-4\lambda+1 \end{eqnarray*}$ ,

die wiederum zur DGL

$\begin{eqnarray*} 0 = y^{(4)}-4y^{(3)}+6y''-4y'+y \end{eqnarray*}$

gehört.

01.07.2014, 19:34

Kulka

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Ja

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