Grenzwertbestimmung

01.07.2014, 21:14

Morbz

Grenzwertbestimmung

Hallo zusammen,
ich habe nochmals eine Frage.

Das Integral $\begin{eqnarray*} \int_0^\pi \! \frac{\sin(x) }{x} \, dx \end{eqnarray*}$
soll näherungsweise im angegebenen Intervall mit Hilfe der summierten Sehnentrapez bzw. Simpson`schen Formel bestimmt werden.

Dazu benötigt man ja den Funktionswert an der unteren Grzene (also f(0)).
Bei der gegebenen Funktion wäre das "0/0" und ja nicht definiert.

Deswegen muss man den Funktionswert wohl mit einer Grenzwertbestimmung (nach Bernoulli L`Hospital) für x->0 ermitteln!?

Meine Lösung wäre:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{sin(x)}{x}= \lim_{x \to 0}\frac{cos(x)}{1}= \frac{1}{1} = 1 \end{eqnarray*}$

Ist das so richtig?

Für eine Antwort wäre ich sehr dankbar.

Gruß, Morbz

01.07.2014, 22:47

HAL 9000

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Ja, Grenzwert 1 stimmt.

02.07.2014, 22:23

Morbz

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Danke für deine Antwort. smile

Darf man jetzt eigentlich f(0)=1 schreiben oder ist das mathematisch nicht korrekt?

Gruß, Morbz

02.07.2014, 22:35

HAL 9000

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Direkt wäre das nicht korrekt - aber du kannst den Integranden ja so definieren:

$\begin{eqnarray*} f(x) := \begin{cases} \frac{\sin(x)}{x} & \;\mbox{für}\, x\neq 0 \\ 1 & \;\mbox{für}\, x=0 \end{cases} \end{eqnarray*}$ .

Die untere Zeile beschreibt demnach die stetige Fortsetzung im Punkt $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ , wo die Funktion ansonsten gar nicht definiert wäre.

03.07.2014, 14:40

Morbz

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Vielen Dank für deine Antwort. Du hast mir sehr geholfen.

Ich hätte aber nochmals eine Frage, was trigonometrische Funktion anbelangt unglücklich

Warum kann man
$\begin{eqnarray*} sin^2(x) = -\frac{1}{2} cos(2x)+\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ oder
$\begin{eqnarray*} cos^2(x) = \frac{1}{2} cos(2x)+\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$
wie angegeben umformen bzw. wie macht man das schrittweise?

Eine Antwort würde mir sehr weiterhelfen.

Gruß, Morbz

03.07.2014, 14:43

10001000Nick1

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Zitat:

Original von HAL 9000
$\begin{eqnarray*} f(x) := \begin{cases} \frac{\sin(x)}{x} & \;\mbox{für}\, x\neq 0 \\ 1 & \;\mbox{für}\, x=0 \end{cases} \end{eqnarray*}$ .

Die untere Zeile beschreibt demnach die stetige Fortsetzung im Punkt $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ , wo die Funktion ansonsten gar nicht definiert wäre.

Nennt man nicht eigentlich die ganze Funktion "stetige Fortsetzung" und nicht nur einen einzelnen Funktionswert?
Ich kenne das so: Eine Funktion $\begin{eqnarray*} f: A\to C \end{eqnarray*}$ heißt stetige Fortsetzung von $\begin{eqnarray*} g: B\to C \end{eqnarray*}$ , falls $\begin{eqnarray*} B\subseteq A \end{eqnarray*}$ , f stetig und $\begin{eqnarray*} f|_B=g \end{eqnarray*}$ ist. Oder gibt es da unterschiedliche Definitionen?

03.07.2014, 15:09

HAL 9000

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@Morbz

Ich steh auf dem Standpunkt, dass man sich einmal den Beweis des Additionstheorems

$\begin{eqnarray*} \sin(x+y) = \sin(x)\cos(y) + \cos(x)\sin(y) \end{eqnarray*}$

anschaut und begreift. Aus dem sowie den Symmetriebeziehungen von sin/cos folgen mittelbar eigentlich alle bekannten anderen derartigen Winkelbeziehungen, u.a. auch die von dir genannten. Da muss man nicht ständig das Rad neu erfinden, und eigene Beweise dafür finden.

@10001000Nick1

Ja, eigentlich die ganze Funktion. Aber diese Haarspalterei interessiert mich hier nicht.

06.07.2014, 21:09

Morbz

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Danke für die Antwort.
Du hast mir sehr geholfen smile

Zwar verstehe ich den Beweis des Additionstheorems nicht wirklich, aber ich habe festgestellt, dass alle wichtigen Beziehungen in meiner Formelsammlung stehen.

Gruß, Morbz

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