Hypothesentest

02.07.2014, 13:12	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Hypothesentest Meine Frage: Hallo Leute, ich habe diese Aufgabe zum Hypothesentest gelöst und würde gerne kurz Rückmeldung bekommen ob ich das richtig gemacht habe. Also hier mal die Aufgabe: In der Studie The variability of blood measurements in children wurde von 53 Jungen im Alter von 8-9 Jahren die Pulsfrequenz gemessen. Es ergab sich eine mittlere Pulsfrequenz von 86,7 Schlägen/min. Langjährige Erfahrungen haben gezeigt, dass die Pulsfequenzen normalverteilt sind mit Mittelwert $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ und Standardabweichung $\begin{eqnarray} \sigma = 10.3 \end{eqnarray}$ Schlägen/min. Zu testen ist die Hypothese $\begin{eqnarray} H_0 : \mu \geq 90 \end{eqnarray}$ gg. $\begin{eqnarray} H_1 : \mu < 90 \end{eqnarray}$ a) Konstruieren Sie einen geeigneten Test für dieses Testproblem zum Signifikanzniveau $\begin{eqnarray} \alpha = 0.05 \end{eqnarray}$ b) Bestimmen Sie den p - Wert Meine Ideen: zu a) zunächst ist $\begin{eqnarray} T(X) = \overline X \end{eqnarray}$ eine geeignete Statistik für $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ , Es ergibt sich der Test: $\begin{eqnarray} \delta_c(X) = 1_{\{T(X) \leq c\}} \end{eqnarray}$ nun muss ich dieses c so bestimmen, dass aus $\begin{eqnarray} \delta_c \end{eqnarray}$ ein s.o.g $\begin{eqnarray} \alpha - Test \end{eqnarray}$ wird. Das es heißt es muss gelten: $\begin{eqnarray} \sup_{\mu \in \theta_0} G_{\delta_c}(\mu) \leq \alpha \end{eqnarray}$ Es gilt: $\begin{eqnarray} G_{\delta_c}(\mu) = \mathbb P_{\mu_0} (\delta_c(X) = 1) = \mathbb P_{\mu_0} (\overline X \leq c) = \mathbb P_{\mu_0} (\frac{ \sqrt{n}(\overline X - \mu)}{\sigma} \leq \frac{\sqrt{n}(c-\mu)}{\sigma}) = \Phi(\frac{\sqrt{n}(c-\mu)}{\sigma}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \Phi(\frac{\sqrt{n}(c-\mu)}{\sigma}) \leq \alpha \Leftrightarrow \frac{\sqrt{n}(c-\mu)}{\sigma}\leq z_{\alpha} \Leftrightarrow c \leq \overline X + z_{\alpha} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \end{eqnarray}$ mit den obigen Werten (und $\begin{eqnarray} z_{\alpha} = -z_{1-\alpha} \end{eqnarray}$ ) erhält man dann: $\begin{eqnarray} c \leq 90 + (-1.65) \cdot \frac{10.3}{\sqrt{53}} = 87.67 \end{eqnarray}$ also wählt man c = 87.67 Frage 1 stimmt es, dass ich hier einfach aus dem $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ dann das $\begin{eqnarray} = \end{eqnarray}$ verwenden? Macht ja schon Sinn, da mein Test ja sagt $\begin{eqnarray} T(X) \leq c \leq 87.67 \end{eqnarray}$ also passt es dann. Das heißt nun also: Falls $\begin{eqnarray} T(X) < 87.67 \Rightarrow H_0 \end{eqnarray}$ verwerfen. In unserem Beispiel gilt: $\begin{eqnarray} \overline X = 86.7 \end{eqnarray}$ also muss ich H_0 verwerfen und die Alternative annehmen. zu b) hier muss ich den p - Wert bestimmen; hierzu setzt ich an mit: $\begin{eqnarray} \delta(X) = 1 \Leftrightarrow \overline X \leq \mu_ + z_\alpha \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow \frac{(\overline X - \mu)}{\sqrt{53}} \leq z_{\alpha} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow \Phi (\frac{(\overline X - \mu)}{\sqrt{53})} \leq \alpha \end{eqnarray}$ Werte einsetzen liefert dann: $\begin{eqnarray} \Phi (-2.333) < \alpha \Leftrightarrow 0.0098 < \alpha \end{eqnarray}$ Es ergibt sich also der $\begin{eqnarray} p - Wert = 0.0098 \end{eqnarray}$ stimmt die Aufgabe so wie ich sie gelöst habe? Danke für die Korrektur Viele Grüße
09.07.2014, 17:46	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hypothesentest Falls einer Langeweile hat, ich freu mich immer noch sehr, falls es sich einer durchlesen möchte.. viele Grüße

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