Menge M, sodass cardM != card M^2

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Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »
Menge M, sodass cardM != card M^2
Hallo,

mich würde interessieren, ob es unendliche Mengen gibt, für die und nicht gleichmächtig sind.

Die Frage ist aus reinem Interesse entstanden und leider kenne ich mich mit Mengenlehre nicht so aus, so dass ich nicht wirklich weiß, wo ich bei einem Beweis anfangen könnte oder in welcher Richtung ich nach einem Gegenbeispiel suchen sollte.

Weiß das jemand?
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Menge M, sodass cardM != card M^2
hallo,
wenn überhaupt, würde das ja nur bei überabzählbaren mengen funktionieren.
Sind denn z.b R und R^2 gleichmächtig ? verwirrt
gruss ollie3
 
 
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo oliie3,

Ja, und sind gleichmächtig. Eine Möglichkeit, wie man das macht, kann ich mal am Beispiel illustrieren. Für ganz geht es analog.

Jedes Element aus können wir mit der Folge seiner Nachkommastellen identifizieren. Genauso können wir jedes Element aus mit einer Folge von Paaren aus Nachkommastellen identifizieren.

Wir bilden dann eine Folge ab auf .

Das sollte uns eine Bijektion liefern. Eventuell muss man noch ein bisschen mit der Eindeutigkeit der Dezimaldarstellung aufpassen, das sollte das ganze aber nicht über den Haufen werfen, denke ich.

Viele Grüße
papahuhn Auf diesen Beitrag antworten »

Die Gleichmächtigkeit von unendlichem A und A² ist äquivalent zum Auswahlaxiom. Siehe auch http://en.wikipedia.org/wiki/Tarski's_theorem
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo papahuhn,

das ist ja interessant Augenzwinkern
Vielen Dank für deine Antwort, ich schaue mir das gleich mal an.

Viele Grüße,
Guppi12
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Guppi12
Ja, und sind gleichmächtig.

Es gibt sogar raumfüllende Kurven.
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