Menge M, sodass cardM != card M^2

02.07.2014, 14:15

Guppi12

Menge M, sodass cardM != card M^2

Hallo,

mich würde interessieren, ob es unendliche Mengen $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ gibt, für die $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} M\times M \end{eqnarray*}$ nicht gleichmächtig sind.

Die Frage ist aus reinem Interesse entstanden und leider kenne ich mich mit Mengenlehre nicht so aus, so dass ich nicht wirklich weiß, wo ich bei einem Beweis anfangen könnte oder in welcher Richtung ich nach einem Gegenbeispiel suchen sollte.

Weiß das jemand?

02.07.2014, 14:50

ollie3

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RE: Menge M, sodass cardM != card M^2
hallo,
wenn überhaupt, würde das ja nur bei überabzählbaren mengen funktionieren.
Sind denn z.b R und R^2 gleichmächtig ? verwirrt

gruss ollie3

02.07.2014, 15:02

Guppi12

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Hallo oliie3,

Ja, $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ sind gleichmächtig. Eine Möglichkeit, wie man das macht, kann ich mal am Beispiel $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ illustrieren. Für ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ geht es analog.

Jedes Element aus $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ können wir mit der Folge seiner Nachkommastellen identifizieren. Genauso können wir jedes Element aus $\begin{eqnarray*} [0,1]^2 \end{eqnarray*}$ mit einer Folge von Paaren aus Nachkommastellen identifizieren.

Wir bilden dann eine Folge $\begin{eqnarray*} (a_k)_{k\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ ab auf $\begin{eqnarray*} (a_{2k}, a_{2k+1})_{k\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ .

Das sollte uns eine Bijektion liefern. Eventuell muss man noch ein bisschen mit der Eindeutigkeit der Dezimaldarstellung aufpassen, das sollte das ganze aber nicht über den Haufen werfen, denke ich.

Viele Grüße

05.07.2014, 18:50

papahuhn

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Die Gleichmächtigkeit von unendlichem A und A² ist äquivalent zum Auswahlaxiom. Siehe auch http://en.wikipedia.org/wiki/Tarski's_theorem

05.07.2014, 19:38

Guppi12

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Hallo papahuhn,

das ist ja interessant Augenzwinkern