Verteilung der kleinsten Elemente einer Stichprobe

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Thorsten1 Auf diesen Beitrag antworten »
Verteilung der kleinsten Elemente einer Stichprobe
Meine Frage:
Hallo!

Ich stehe vor folgendem Problem:

Gegeben ist eine Zufallsvariable X mit der Verteilungsfunktion F(x). Nun werden beliebig viele Stichproben des Umfangs n genommen. Wie sind nun die kleinsten Elemente der einzelnen Stichproben verteilt?

Meine Ideen:
Ich betrachte eine bestimmte Stelle x*. Dann ist die Wahrscheinlichkeit einen Stichprobenwert kleiner als x* zu erhalten F(x*), und einen Wert größer x* zu erhalten 1-F(x*). Wenn nur ein einzelner Wert kleiner und alle anderen größer sein sollen, beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür



Wie komme ich aber nun zu einer Verteilungsfunktion?

Vielen Dank für Hilfe, Thorsten
Thorsten1 Auf diesen Beitrag antworten »
Verteilung der kleinsten Elemente einer Stichprobe
EDIT: Ok bin draufgekommen dass die Dichtefunktion der kleinsten Elemente der Stichprobe offenbar gegeben ist durch



mit f(x) als Dichte- und F(x) als Verteilungsfunktion von X, d.h. wenn ich eine bestimmte Stelle x* betrachte, muss ich nicht nach allen Werten kleiner x* sondern genau x* fragen. Allerdings dachte ich die Wahrscheinlichkeit genau x* zu erhalten ist gleich 0? Wie lässt sich das formal argumentieren?

Wie kann ich weiters zeigen, dass es sich bei um die Dichtefunktion einer Zufallsvariablen handelt?

Grüße, Thorsten
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist überhaupt nicht klar, dass stetig verteilt ist - also kannst du i.a. auch nicht von einer Dichtefunktion sprechen. unglücklich

Allgemein (stetig oder nicht) gilt für die Verteilungsfunktion des Stichprobenminimums

.
Thorsten1 Auf diesen Beitrag antworten »
Verteilung der kleinsten Elemente einer Stichprobe
Hallo HAL 9000,

danke für Korrektur und Antwort!

Thorsten
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