Weibull-verteilt zu Parametern alpha, lambda

03.07.2014, 01:56

jenz1992

Weibull-verteilt zu Parametern alpha, lambda

Die Aufgabe:
Eine Zufallsvariable T heisst Weibull-verteilt zu den Parametern alpha, lambda > 0,
falls ihre Verteilung die folgende Dichte hat

$\begin{eqnarray*} f(t) = \lambda \alpha t^{\alpha -1} exp(-\lambda t^\alpha ) 1_{[0,\infty)} (t) \textrm{ a) Die Zufallsvariable V sei zum Parameter } \lambda > 0 \textrm{ exponentialverteilt.} \textrm{ Z. z.: dass } V^{1/\alpha }, \alpha > 0, \textrm{ Weibull-verteilt ist zu den Parametern} \alpha ,\lambda \textrm{ b) Z. z.: Ist U eine uniformverteilte ZV auf (0,1) und sind } \alpha ,\lambda > 0, \textrm{ so ist} S:= (-\lambda ^{-1} log(U))^{1/\alpha } \textrm{ Weibull-verteilt zu den Parametern } \alpha ,\lambda \end{eqnarray*}$

Meine Idee:
$\begin{eqnarray*} \textrm{Dichtefunktion:} f(x) = \lambda \cdot \alpha \cdot (\lambda \cdot x)^{\alpha-1} e^{{-(\lambda \cdot x)}^\alpha } \textrm{Verteilungsfunktion:} F(x) = 1-e^{{-(\lambda \cdot x)}^\alpha } \end{eqnarray*}$
zur a)
$\begin{eqnarray*} \textrm{V ist zum Parameter} \lambda >0 \textrm{exponentialverteilt, dann besitzt die Zufallsvariable} T := V^{1/\alpha } (\alpha >0) \textrm{ eine Weibull-Verteilung } Wei(\lambda^{1/\alpha}, \alpha ) \textrm{Beweis durch die Verteilungsfunktion von T, die eine Weibull-Verteilung ist :} F_T(t) = P(T \leq t) = P(V^{1/\alpha} \leq t) = P(V\leq t^\alpha ) = 1-e^{{-\lambda t}^\alpha} = 1-e^{{-({\lambda }^{1/\alpha} \cdot t)} ^\alpha }, t > 0 \end{eqnarray*}$

Zur b) habe ich leider keine Idee
Vielen Dank schon mal
Viele Grüße, Jens

03.07.2014, 07:24

HAL 9000

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RE: Weibull-verteilt zu Parametern alpha, lambda

Zitat:

Original von jenz1992
$\begin{eqnarray*} f(t) = \lambda \alpha t^{\alpha -1} exp(-\lambda t^\alpha ) 1_{[0,\infty)} (t) \end{eqnarray*}$

[...]

$\begin{eqnarray*} \textrm{Dichtefunktion:} f(x) = \lambda \cdot \alpha \cdot (\lambda \cdot x)^{\alpha-1} e^{{-(\lambda \cdot x)}^\alpha } \textrm{Verteilungsfunktion:} F(x) = 1-e^{{-(\lambda \cdot x)}^\alpha } \end{eqnarray*}$

So geht's nicht, die beiden Gleichungen widersprechen sich, weil du dasselbe $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ in unterschiedlichen Bedeutungen verwendest. unglücklich

Wenn du stattdessen

$\begin{eqnarray*} f(x) = \lambda_1 \cdot \alpha \cdot (\lambda_1 \cdot x)^{\alpha-1} e^{{-(\lambda_1 \cdot x)}^\alpha } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F(x) = 1-e^{{-(\lambda_1 \cdot x)}^\alpha } \end{eqnarray*}$

schreibst mit $\begin{eqnarray*} \lambda=\lambda_1^{\alpha} \end{eqnarray*}$ , dann wird ein Schuh draus. Ansonsten ist die Grundidee der Umformungen der Verteilungsfunktion richtig. Freude

Und die kannst du doch genauso bei b) verwenden - einfach das Ereignis innerhalb P(...) äquivalent umformen, dauert hier nur ein bisschen länger: Für $\begin{eqnarray*} x\geq 0 \end{eqnarray*}$ gilt

$\begin{eqnarray*} F_S(x) &=& P(S\leq x) = P\left( \left(-\lambda^{-1}\ln(U) \right)^{1/\alpha} \leq x \right) = P\left( -\lambda^{-1}\ln(U) \leq x^{\alpha} \right) \\ &=& P\left( \ln(U) \geq -\lambda x^{\alpha} \right) = P\left( U \geq \exp\left( -\lambda x^{\alpha} \right) \right) = \ldots \end{eqnarray*}$

03.07.2014, 23:33

jenz1992

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Vielen Dank für die Hilfe, HAL 9000 smile

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