Basis eines PolynomUR

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Rebreg Auf diesen Beitrag antworten »
Basis eines PolynomUR
Die Aufgabe:
Finden Sie eine Basis des UR aller Polynome vom Grad kleiner oder gleich 3 die bezüglich dem Skalarprodukt senkrecht auf stehen.

Meine Ideen/Ansatz:
Ich suche also eine Basis für die gilt wobei ein Polynom dritten Grades ist, also der Form
Also:

Die Koeff. der Polynome die senkrecht auf x stehen ist also durch diese Gleichung bestimmt.

Aber wie finde ich denn jetzt a,b,c,d? Was weiss ich über diese Koeff?

Jetzt suche ich ja die Basis dieser Polynome. Also möchte ich gerne eine Matrix aufstellen. Wie finde ich die denn?

Irgendwie stehe ich gerade auf dem Schlauch!
Merci viel mal für die Hilfe!! Gott
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis eines PolynomUR
Nun ja, im Grunde mußt du ein Gleichungssystem bestehend aus dieser einen Gleichung:
Zitat:
Original von Rebreg


lösen. Augenzwinkern
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis eines PolynomUR
Die Standardbasis für den gesamten Raum ist ja . Jetzt konstruiere aus dieser Basis eine neue Basis für den genannten Unterraum, sodass diese Basisvektoren die Bedingung

erfüllen. Du musst zeigen, dass die drei Basisvektoren der Unterraumbasis linear unabhängig sind.
Rebreg Auf diesen Beitrag antworten »

Ach so, und dann erhalte ich ein "Gleichungssystem" bei dem ich 3 freie Parameter habe.
Ich wähle also mal und somit Also:

Dieses Polynom erfüllt nun also die Orthogonalitätsbedingung.
Und wie finde ich jetzt die Basis? traurig
Rebreg Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
eine neue Basis Bu:={b1,b2,b3

Und warum weiss ich dass die neue Basis 3 Vektoren hat? die Basis hat doch immer so viele Vektoren wie es Pivots hat?!
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Bau die Basis sukzessive aus Basisvektoren der Standardbasis auf. Beginne beispielsweise mit , dann . Mache einen entsprechenden Ansatz , der dann die Orthogonalitätsbedingung

erfüllt. Bau dann einen Basisvektor aus usw..
 
 
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Rebreg
Zitat:
eine neue Basis Bu:={b1,b2,b3

Und warum weiss ich dass die neue Basis 3 Vektoren hat? die Basis hat doch immer so viele Vektoren wie es Pivots hat?!


Weil es eine einschränkende Bedingung gibt, deine geforderte Orthogonalitätsbedingung. Also muss der Raum der Vektoren, die diese erfüllen 3-dimensional sein, denn der Gesamtraum ist 4-dimensional .

Edit: Was meinst du in dem Zusammenhang mit "Pivots"?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Rebreg
Und warum weiss ich dass die neue Basis 3 Vektoren hat? die Basis hat doch immer so viele Vektoren wie es Pivots hat?!

Wie sonst auch: finde die freien Variablen und erstelle jeweils einen Basivektor.

Zitat:
Original von RavenOnJ
Bau die Basis sukzessive aus Basisvektoren der Standardbasis auf. Beginne beispielsweise mit , dann ..

@RavenOnJ: mir ist nicht so recht klar, was du mit deinem Beitrag bezweckst.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit

@RavenOnJ: mir ist nicht so recht klar, was du mit deinem Beitrag bezweckst.


Welcher Beitrag? Aber ich halt mich gerne raus, wenn du wieder weitermachst.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit

Zitat:
Original von RavenOnJ
Bau die Basis sukzessive aus Basisvektoren der Standardbasis auf. Beginne beispielsweise mit , dann ..

@RavenOnJ: mir ist nicht so recht klar, was du mit deinem Beitrag bezweckst.


Ist das Verfahren falsch oder unnötig oder wie?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

In meinen Augen ist es unnötig. Es ergibt sich doch alles aus der zu lösenden Gleichung .
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
In meinen Augen ist es unnötig. Es ergibt sich doch alles aus der zu lösenden Gleichung .


Dann halte ich mich raus. Ich halte es aber für ein relativ klares Verfahren, wie man eine Basis des UR erstellen kann, sogar auf Wunsch orthonormiert.
Rebreg Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich glaube jetzt hab ichs verstanden! smile
Ich kann jetzt eigentlich einfach 4 mal andere Parameter b,c,d, wählen, a daraus bestimmen und dann die Koeffizienten in p(x) einsetzen und eine 4x4 Matrix aufstellen von der ich dann eine Basis über Gauss finden kann?!
Hoffentlich stimmt das so! Weil das macht nämlich gerade total Sinn! Die so gefundenen Polynome erfüllen ja alle die Orthog.bedingung!
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Rebreg
Ich kann jetzt eigentlich einfach 4 mal andere Parameter b,c,d, wählen, a daraus bestimmen und dann die Koeffizienten in p(x) einsetzen und eine 4x4 Matrix aufstellen von der ich dann eine Basis über Gauss finden kann?!

Nun ja, eigentlich sind da nur 3mal die Parameter b,c,d, zu wählen. Ich mache es immer so, daß ich einen Parameter = 1 setze und die anderen Null. Dann läßt sich das simpel rechnen. Außerdem hast du dann deine Basis. Da brauchst du keine Matrix mehr aufstellen und nix weiter.
Rebreg Auf diesen Beitrag antworten »

Freude
Daaaaaaaaanke!!! smile
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