Basis eines PolynomUR |
03.07.2014, 13:35 | Rebreg | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Basis eines PolynomUR Finden Sie eine Basis des UR aller Polynome vom Grad kleiner oder gleich 3 die bezüglich dem Skalarprodukt senkrecht auf stehen. Meine Ideen/Ansatz: Ich suche also eine Basis für die gilt wobei ein Polynom dritten Grades ist, also der Form Also: Die Koeff. der Polynome die senkrecht auf x stehen ist also durch diese Gleichung bestimmt. Aber wie finde ich denn jetzt a,b,c,d? Was weiss ich über diese Koeff? Jetzt suche ich ja die Basis dieser Polynome. Also möchte ich gerne eine Matrix aufstellen. Wie finde ich die denn? Irgendwie stehe ich gerade auf dem Schlauch! Merci viel mal für die Hilfe!! |
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03.07.2014, 14:02 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Basis eines PolynomUR Nun ja, im Grunde mußt du ein Gleichungssystem bestehend aus dieser einen Gleichung:
lösen. |
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03.07.2014, 14:59 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Basis eines PolynomUR Die Standardbasis für den gesamten Raum ist ja . Jetzt konstruiere aus dieser Basis eine neue Basis für den genannten Unterraum, sodass diese Basisvektoren die Bedingung erfüllen. Du musst zeigen, dass die drei Basisvektoren der Unterraumbasis linear unabhängig sind. |
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03.07.2014, 15:11 | Rebreg | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ach so, und dann erhalte ich ein "Gleichungssystem" bei dem ich 3 freie Parameter habe. Ich wähle also mal und somit Also: Dieses Polynom erfüllt nun also die Orthogonalitätsbedingung. Und wie finde ich jetzt die Basis? |
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03.07.2014, 15:15 | Rebreg | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Und warum weiss ich dass die neue Basis 3 Vektoren hat? die Basis hat doch immer so viele Vektoren wie es Pivots hat?! |
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03.07.2014, 15:26 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Bau die Basis sukzessive aus Basisvektoren der Standardbasis auf. Beginne beispielsweise mit , dann . Mache einen entsprechenden Ansatz , der dann die Orthogonalitätsbedingung erfüllt. Bau dann einen Basisvektor aus usw.. |
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03.07.2014, 15:29 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Weil es eine einschränkende Bedingung gibt, deine geforderte Orthogonalitätsbedingung. Also muss der Raum der Vektoren, die diese erfüllen 3-dimensional sein, denn der Gesamtraum ist 4-dimensional . Edit: Was meinst du in dem Zusammenhang mit "Pivots"? |
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03.07.2014, 15:29 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wie sonst auch: finde die freien Variablen und erstelle jeweils einen Basivektor.
@RavenOnJ: mir ist nicht so recht klar, was du mit deinem Beitrag bezweckst. |
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03.07.2014, 15:32 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Welcher Beitrag? Aber ich halt mich gerne raus, wenn du wieder weitermachst. |
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03.07.2014, 15:34 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ist das Verfahren falsch oder unnötig oder wie? |
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03.07.2014, 15:38 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
In meinen Augen ist es unnötig. Es ergibt sich doch alles aus der zu lösenden Gleichung . |
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03.07.2014, 15:40 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Dann halte ich mich raus. Ich halte es aber für ein relativ klares Verfahren, wie man eine Basis des UR erstellen kann, sogar auf Wunsch orthonormiert. |
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03.07.2014, 15:59 | Rebreg | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also ich glaube jetzt hab ichs verstanden! Ich kann jetzt eigentlich einfach 4 mal andere Parameter b,c,d, wählen, a daraus bestimmen und dann die Koeffizienten in p(x) einsetzen und eine 4x4 Matrix aufstellen von der ich dann eine Basis über Gauss finden kann?! Hoffentlich stimmt das so! Weil das macht nämlich gerade total Sinn! Die so gefundenen Polynome erfüllen ja alle die Orthog.bedingung! |
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03.07.2014, 16:07 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nun ja, eigentlich sind da nur 3mal die Parameter b,c,d, zu wählen. Ich mache es immer so, daß ich einen Parameter = 1 setze und die anderen Null. Dann läßt sich das simpel rechnen. Außerdem hast du dann deine Basis. Da brauchst du keine Matrix mehr aufstellen und nix weiter. |
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03.07.2014, 16:09 | Rebreg | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Daaaaaaaaanke!!! |
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