Nicht lösbare Funktionalgleichung

03.07.2014, 16:45	yili	Auf diesen Beitrag antworten »
Nicht lösbare Funktionalgleichung Meine Frage: Zeigen Sie, dass es keine Funktion f,g:R->R gibt, die eine der folgenden Bedingungen erfüllt: 1) f(x) + g(y) = xy für alle x,y aus R 2) f(x) g(y) = x+y für alle x,y aus R Hinweis: f und g hätten die gefordete Eigenschaft und führen Sie dies zum Wiederspruch, indem Sie geeignete Werte für x und y einsetzen. Meine Ideen: Mein Ansatz wäre die Funktionen Zusammenzufassen, x = y setzen und am ende iwie auf das ergebnis x+y ist ungleich x*y zu kommen, aber ich weiß nicht ob das richtig ist. Ich bin für jeden Tipp dankbar. MfG
03.07.2014, 16:48	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Setz doch mal x=0, y beliebig sowie dann y=0, x beliebig in die erste Gleichung ein...
03.07.2014, 18:00	edi	Auf diesen Beitrag antworten »
Sry hätte nicht gedacht dass jemand so früh antwortet. Also so wie du die x und y gewählt hast, dann wird immer auf die 0 abgebildet. Ich verstehe trotzdem nicht, wieso daraus ein Widerspruch folgen soll.
03.07.2014, 18:06	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, ich mach mal 1) ausführlich - vielleicht inspiriert dich das bei 2): Einsetzen von x=0 liefert $\begin{eqnarray} f(0) + g(y) = 0 \end{eqnarray}$ für alle (!) reellen $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ , d.h. es ist $\begin{eqnarray} g(y)=-f(0) \end{eqnarray}$ und somit konstant. Einsetzen von y=0 liefert ähnlich $\begin{eqnarray} f(x) + g(0) = 0 \end{eqnarray}$ für alle reellen $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ , und damit auch $\begin{eqnarray} f(x)=-g(0) \end{eqnarray}$ konstant. Es gibt also ein reelles $\begin{eqnarray} C \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(x) = C \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} g(y)=-C \end{eqnarray}$ für alle reellen $\begin{eqnarray} x,y \end{eqnarray}$ , d.h. in 1) steht links immer $\begin{eqnarray} f(x)+g(y)=0 \end{eqnarray}$ . Was ein Widerspruch ist, wenn wir z.B. rechts $\begin{eqnarray} x=1,y=1 \end{eqnarray}$ einsetzen. ----------------------------- Es gibt hier Möglichkeiten wie Sand am Meer, einen Widerspruch zu generieren - hier eine zweite: Viermal einsetzen. x=0,y=0: $\begin{eqnarray} f(0)+g(0)=0 \end{eqnarray}$ x=1,y=1: $\begin{eqnarray} f(1)+g(1)=1 \end{eqnarray}$ Die Summe ergibt $\begin{eqnarray} f(0)+f(1)+g(0)+g(1)=1 \end{eqnarray}$ . x=0,y=1: $\begin{eqnarray} f(0)+g(1)=0 \end{eqnarray}$ x=1,y=0: $\begin{eqnarray} f(1)+g(0)=0 \end{eqnarray}$ Hier ergibt die Summe $\begin{eqnarray} f(0)+f(1)+g(0)+g(1)=0 \end{eqnarray}$ , Widerspruch.
03.07.2014, 18:30	edi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, vielen Dank. Ich denke ich habe zu kompliziert nachgedacht. Dann mal die 2) $\begin{eqnarray} f(0) g(0) = 0 + 0 = 0<br /> f(1) * g(1) = 1 + 1 = 2<br /> \Rightarrow f(0) * g(0) * f(1) * g(1) = 0<br /> f(0) * g(1) = 0 + 1 = 1<br /> f(1) * g(0) = 1 + 0 = 1<br /> \Rightarrow f(0) * g(0) * f(1) * g(1) = 1<br /> <br /> \Rightarrow Widerspruch \end{eqnarray*}$ Ich danke dir vielmals MfG edi
03.07.2014, 20:11	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Prima!
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