Wie kommt man darauf?

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zgns Auf diesen Beitrag antworten »
Wie kommt man darauf?
Meine Frage:
Wie findet man in der Gleichung

x*f'(x) / f(x) = 3

die Funktion f(x) heraus?



Meine Ideen:
Ich habe durch Zufall und ausprobieren herausgefunden, dass f(x) = 1/9 x^3 sein muss, weiß aber nicht, wie ich darauf kommen soll.
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Eigentlich würde ich jetzt sagen: Das ist eine Differentialgleichung, die kannst du durch Separation der Variablen lösen.
Aber da du diese Frage in der Schulmathematik stellst, vermute ich, dass du noch Schüler bist, oder? Und da ist dir sowas sicherlich noch nicht bekannt.

Es gibt übrigens noch mehr Lösungen: Für jedes erfüllt diese Gleichung. smile
 
 
zgns Auf diesen Beitrag antworten »

ups, falsches Forum
bin zwar Student, studiere aber nicht (!) Mathe.
deswegen sagt mir die "Separation der Variablen" leider nichts...
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Hast du schon mal von Differentialgleichungen gehört bzw. hattest du das schon an der Uni (falls du dort überhaupt Mathevorlesungen hast)?
zgns Auf diesen Beitrag antworten »

ist das nicht einfach ableiten oder so?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn man mit Differentialgleichungen umgeht, muss man ab und zu mal ableiten. Aber die Beschreibung "einfach ableiten" trifft es überhaupt nicht. unglücklich
zgns Auf diesen Beitrag antworten »

könntest Du mir das denn mal bei der Aufgabe erklären, bitte?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Erst einmal solltest du dir nochmal angucken, was Differentialgleichungen sind.
Dann kannst du dir hier angucken, wie Separation der Variablen funktioniert.
Bernhard1 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo zgns,

anstelle von f'(x) kann man bekanntlich auch df/dx schreiben. Ferner darf man die gegebene Gleichung noch umstellen und bekommt dann:



Beide Seiten der Gleichung kann man dann integrieren und bekommt zusammen mit der Integrationskonstante die allgemeine Lösung.

Tipp: Mehr Infos findest Du im www oder in Büchern über Differentialgeichungen.
zgns Auf diesen Beitrag antworten »

also der Lösungsweg von Telefonmann1 sieht einfacher aus, als das, was ich gerade im Internet gelesen habe.
Aber nur mal eine Frage am Rande:

wenn man df/f integriert, hat man f(x) ?
zgns Auf diesen Beitrag antworten »

ich komme überhaupt nicht weiter...!
wenn ich das doch auf beide Seiten Integriere, habe ich doch


oder nicht? dann hätte ich doch

ln(f) + c = 3ln(x) +c
womit ich nichts anfangen kann
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Das sieht doch schon mal gut aus. smile
Du kannst du dir aber eine Integrationskonstante sparen, es reicht, wenn du eine hinschreibst. Wenn du allerdings auf beide Seiten eine Integrationskonstante schreibst, dann kannst du nicht auf beiden Seiten die selbe nehmen. Also z.B. und . Aber eine reicht aus.

Stelle jetzt nach f um (das wolltest du ja berechnen).
zgns Auf diesen Beitrag antworten »

also dann habe ich




aber irgendwie sieht das noch gar nicht fertig aus...
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast ein paar Beträge vergessen:



Jetzt ein Potenzgesetzt anwenden:

Und jetzt guck mal, ob du mit dem ersten Faktor auf der rechten Seite noch was machen kannst (Logarithmengesetz).
zgns Auf diesen Beitrag antworten »

wenn ich mich recht erinnere, müsste das doch
x^3 sein, oder? und wahrscheinlich kann man statt e^c auch c schreiben (also e^c1 --> c2)
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Fast. Das muss stehen oder auch . Und ja, du kannst da eine neue Konstante einführen, musst aber beachten, dass diese erstmal nur positiv sein kann (weil ja auch immer positiv ist). Aber bitte nicht einfach durch ersetzen (denn es ist ja im Allgemeinen nicht ).

Jetzt steht da also mit .
Und jetzt überleg mal, was du noch machen kannst, damit der Betrag auf der linken Seite verschwindet und dann nur noch dasteht.


Ich bin jetzt weg, aber eigentlich sind wir ja schon fast fertig. Falls noch Fragen sind, antworte ich dann morgen. Wink
zgns Auf diesen Beitrag antworten »

kann ich nicht einfach schreiben f(x) >0 mit ?

dann könnte ich doch auch die Beträge bei x weglassen, oder?
zgns Auf diesen Beitrag antworten »

ich hab die anderen Aufgaben versucht, genau so zu lösen, aber ich weiß jedes mal nicht, was ich machen soll, wenn ich alles nach f umgestellt habe...

ausgehend von der schon umgestellten Formel:

b)






c)






d)






ich hoffe Du hast morgen noch mal Zeit, mal darüber zu schauen.
Ich vermute, dass man bei c nichts mehr weiter machen kann, aber bei b und d weiß ich nicht, wie ich das weiter vereinfachen kann.
Bernhard1 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Leute,

ihr habt euch da ziemlich "verlaufen", aber es gibt einen netten Trick, den man hier und bei allen ähnlichen Problemen mit dem ln anwenden kann oder sollte:



1) Die Konstante ist frei wählbar, also darf man auch den Logarithmus einer anderen Konstante c' verwenden.
2) Wenn man die Rechengesetze zum Logarithmus kennt, kann man die rechte Seite der Gleichung vereinfachen, bzw. zusammenfassen
3) Mit der Zusammenfassung aus 2) wird die bereits berechnete Gleichung zu



und da kann man dann ja wohl auf beiden Seiten den ln auch weglassen?
...
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso haben wir uns "verlaufen"? Mit deinem Weg kommt man auf das gleiche wie bei unserem Weg (bis auf die Beträge; wieso hast du die weggelassen?)

@zgns: Wir waren ja bei .
D.h. man kann auch schreiben
Und da kann man jetzt statt auch eine neue Konstante einführen, die alle Werte ungleich 0 annehmen darf.

ist dann die Lösung der Differentialgleichung.
Bernhard1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von 10001000Nick1
Wieso haben wir uns "verlaufen"? Mit deinem Weg kommt man auf das gleiche wie bei unserem Weg (bis auf die Beträge; wieso hast du die weggelassen?)

Oops. Ich habe übersehen, dass zgns oben neue Aufgaben angeschrieben hat. Mein voriger Beitrag ist damit überflüssig geworden.
Bernhard1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von zgns


1) Die Faktoren 2 und 1/2 heben sich gegenseitig weg
2) Den Betrag bei kann man weglassen, weil hier per Definition bereits x>0
2) exp(ln(x)) = x
zgns Auf diesen Beitrag antworten »

ah okay,

d.h. ich habe dann bei b) f(x) = cx und bei c) f(x)=ce^x mit jeweil c ungleich null?
Bernhard1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von zgns
d.h. ich habe dann bei b) f(x) = cx

Wenn man unsicher ist solllte man die Lösungen von Differentialgleichungen (DGL) immer testen, d.h. nachrechnen, ob die Lösung auch wirklich die DGL erfüllt ...
und das ist hier leider nicht der Fall, weil ich erneut nicht aufgepasst habe.
Bernhard1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Telefonmann1
Zitat:
Original von zgns


1) Die Faktoren 2 und 1/2 heben sich gegenseitig weg

Stimmt leider nicht. Quadriert wird hier nicht x, sondern der Logarithmus. Das Ergebnis steht deswegen fast schon da. Man kann nur noch die beiden e-Funktionen zusammenfassen:



EDIT: Bei Aufgabe c) hast du die Lösung oben bereits korrekt angegeben. Ich persönlich würde ebenfalls die e-Funktionen zusammenfassen, damit es etwas übersichtlicher aussieht:



EDIT,EDIT: Aufgabe d) analog. Ergebnis passt. Die e-Funktionen können je nach Geschmack noch zusammengefasst werden.
zgns Auf diesen Beitrag antworten »

also b und d kann man nicht mehr zusammenfassen, aber b mit f(x) = ce^x ist nicht richtig?
zgns Auf diesen Beitrag antworten »

und für b gilt doch c>-0.5lnx und bei d c>-e^x, oder?
Bernhard1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von zgns
also b und d kann man nicht mehr zusammenfassen

Man kann, wie von mir angegeben, die zwei e-Funktionen zu einer e-Funktion zusammenfassen.

Zitat:
, aber b mit f(x) = ce^x ist nicht richtig?

Korrekt. Das war ein Irrtum meinerseits.
Bernhard1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von zgns
und für b gilt doch c>-0.5lnx und bei d c>-e^x, oder?

Nein. Bei b), c) und d) ist die Integrationskonstante völlig frei aus R wählbar, da die e-Funktion überall positiv ist.
zgns Auf diesen Beitrag antworten »

ach ja, aber wenn ich das doch als

b) c*e^(0,5lnx) habe, gilt doch c>0 oder?
und für c und d genauso?
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