Wie kommt man darauf?

03.07.2014, 17:13

zgns

Wie kommt man darauf?

Meine Frage:
Wie findet man in der Gleichung

x*f'(x) / f(x) = 3

die Funktion f(x) heraus?

Meine Ideen:
Ich habe durch Zufall und ausprobieren herausgefunden, dass f(x) = 1/9 x^3 sein muss, weiß aber nicht, wie ich darauf kommen soll.

03.07.2014, 17:18

10001000Nick1

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Eigentlich würde ich jetzt sagen: Das ist eine Differentialgleichung, die kannst du durch Separation der Variablen lösen.
Aber da du diese Frage in der Schulmathematik stellst, vermute ich, dass du noch Schüler bist, oder? Und da ist dir sowas sicherlich noch nicht bekannt.

Es gibt übrigens noch mehr Lösungen: Für jedes $\begin{eqnarray*} c\in\mathbb{R}\setminus\{0\} \end{eqnarray*}$ erfüllt $\begin{eqnarray*} f(x)=cx^3 \end{eqnarray*}$ diese Gleichung. smile

03.07.2014, 17:54

zgns

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ups, falsches Forum
bin zwar Student, studiere aber nicht (!) Mathe.
deswegen sagt mir die "Separation der Variablen" leider nichts...

03.07.2014, 17:58

10001000Nick1

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Hast du schon mal von Differentialgleichungen gehört bzw. hattest du das schon an der Uni (falls du dort überhaupt Mathevorlesungen hast)?

03.07.2014, 18:13

zgns

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ist das nicht einfach ableiten oder so?

03.07.2014, 18:18

10001000Nick1

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Wenn man mit Differentialgleichungen umgeht, muss man ab und zu mal ableiten. Aber die Beschreibung "einfach ableiten" trifft es überhaupt nicht. unglücklich

03.07.2014, 18:20

zgns

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könntest Du mir das denn mal bei der Aufgabe erklären, bitte?

03.07.2014, 18:27

10001000Nick1

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Erst einmal solltest du dir nochmal angucken, was Differentialgleichungen sind.
Dann kannst du dir hier angucken, wie Separation der Variablen funktioniert.

03.07.2014, 18:32

Bernhard1

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Hallo zgns,

anstelle von f'(x) kann man bekanntlich auch df/dx schreiben. Ferner darf man die gegebene Gleichung noch umstellen und bekommt dann:

$\begin{eqnarray*} \frac{df}{f}=\frac{3dx}{x} \end{eqnarray*}$

Beide Seiten der Gleichung kann man dann integrieren und bekommt zusammen mit der Integrationskonstante die allgemeine Lösung.

Tipp: Mehr Infos findest Du im www oder in Büchern über Differentialgeichungen.

03.07.2014, 18:51

zgns

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also der Lösungsweg von Telefonmann1 sieht einfacher aus, als das, was ich gerade im Internet gelesen habe.
Aber nur mal eine Frage am Rande:

wenn man df/f integriert, hat man f(x) ?

03.07.2014, 21:08

zgns

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ich komme überhaupt nicht weiter...!
wenn ich das doch auf beide Seiten Integriere, habe ich doch

$\begin{eqnarray*} \int_ {}^{}\! \frac{1}{ f} \, df = \int_ {}^{}\! \frac{3}{x} \, dx \end{eqnarray*}$
oder nicht? dann hätte ich doch

ln(f) + c = 3ln(x) +c
womit ich nichts anfangen kann

03.07.2014, 21:19

10001000Nick1

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Das sieht doch schon mal gut aus. smile

Du kannst du dir aber eine Integrationskonstante sparen, es reicht, wenn du eine hinschreibst. Wenn du allerdings auf beide Seiten eine Integrationskonstante schreibst, dann kannst du nicht auf beiden Seiten die selbe nehmen. Also z.B. $\begin{eqnarray*} c_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c_2 \end{eqnarray*}$ . Aber eine reicht aus.

Stelle jetzt nach f um (das wolltest du ja berechnen).

03.07.2014, 21:26

zgns

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also dann habe ich

$\begin{eqnarray*} ln(f) = 3ln(x) + c \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f = e^{3ln(x)+c} \end{eqnarray*}$

aber irgendwie sieht das noch gar nicht fertig aus...

03.07.2014, 21:34

10001000Nick1

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Du hast ein paar Beträge vergessen:
$\begin{eqnarray*} \ln|f|=3\ln|x|+c \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow |f|=e^{3\ln|x|+c} \end{eqnarray*}$

Jetzt ein Potenzgesetzt anwenden:
$\begin{eqnarray*} |f|=e^{3\ln|x|}\cdot e^c \end{eqnarray*}$
Und jetzt guck mal, ob du mit dem ersten Faktor auf der rechten Seite noch was machen kannst (Logarithmengesetz).

03.07.2014, 21:38

zgns

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wenn ich mich recht erinnere, müsste das doch
x^3 sein, oder? und wahrscheinlich kann man statt e^c auch c schreiben (also e^c1 --> c2)

03.07.2014, 21:47

10001000Nick1

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Fast. Das muss stehen $\begin{eqnarray*} |x|^3 \end{eqnarray*}$ oder auch $\begin{eqnarray*} \left|x^3\right| \end{eqnarray*}$ . Und ja, du kannst da eine neue Konstante $\begin{eqnarray*} c_2 \end{eqnarray*}$ einführen, musst aber beachten, dass diese erstmal nur positiv sein kann (weil ja $\begin{eqnarray*} e^c \end{eqnarray*}$ auch immer positiv ist). Aber bitte nicht einfach $\begin{eqnarray*} e^c \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ ersetzen (denn es ist ja im Allgemeinen nicht $\begin{eqnarray*} e^c=c \end{eqnarray*}$ ).

Jetzt steht da also $\begin{eqnarray*} |f|=c_2\cdot \left|x^3\right| \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} c_2>0 \end{eqnarray*}$ .
Und jetzt überleg mal, was du noch machen kannst, damit der Betrag auf der linken Seite verschwindet und dann nur noch $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ dasteht.

Ich bin jetzt weg, aber eigentlich sind wir ja schon fast fertig. Falls noch Fragen sind, antworte ich dann morgen. Wink

03.07.2014, 21:58

zgns

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kann ich nicht einfach schreiben f(x) >0 mit $\begin{eqnarray*} c_2\in \mathbb R^+ \end{eqnarray*}$ ?

dann könnte ich doch auch die Beträge bei x weglassen, oder?

03.07.2014, 22:19

zgns

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ich hab die anderen Aufgaben versucht, genau so zu lösen, aber ich weiß jedes mal nicht, was ich machen soll, wenn ich alles nach f umgestellt habe...

ausgehend von der schon umgestellten Formel: $\begin{eqnarray*} \frac{df}{f}=\frac{(*)dx}{x} \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} \frac{df}{f}=\frac{ln(x)dx}{x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int_ {}^{}\! \frac{1}{ f} \, df = \int_ {}^{}\! \frac{ln(x)}{x} \, dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ln|f| = \frac{ln^2|x|}{2} +c \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |f| = e^{\frac{1}{2}*ln^2|x|} * e^{|c|} \end{eqnarray*}$

c) $\begin{eqnarray*} \frac{df}{f}=\frac{x^2dx}{x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int_ {}^{}\! \frac{1}{ f} \, df = \int_ {}^{}\! x \, dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ln|f| = \frac{x^2}{2} +c \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |f| = e^{\frac{1}{2}*x^2} * e^{|c|} \end{eqnarray*}$

d) $\begin{eqnarray*} \frac{df}{f}=\frac{xe^xdx}{x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int_ {}^{}\! \frac{1}{ f} \, df = \int_ {}^{}\! e^x \, dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ln|f| = e^x +c \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |f| = e^{e^x} * e^{|c|} \end{eqnarray*}$

ich hoffe Du hast morgen noch mal Zeit, mal darüber zu schauen.
Ich vermute, dass man bei c nichts mehr weiter machen kann, aber bei b und d weiß ich nicht, wie ich das weiter vereinfachen kann.

03.07.2014, 23:07

Bernhard1

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Hallo Leute,

ihr habt euch da ziemlich "verlaufen", aber es gibt einen netten Trick, den man hier und bei allen ähnlichen Problemen mit dem ln anwenden kann oder sollte:

$\begin{eqnarray*} \ln (x) + c = \ln (x) + \ln (c') \end{eqnarray*}$

1) Die Konstante ist frei wählbar, also darf man auch den Logarithmus einer anderen Konstante c' verwenden.
2) Wenn man die Rechengesetze zum Logarithmus kennt, kann man die rechte Seite der Gleichung vereinfachen, bzw. zusammenfassen
3) Mit der Zusammenfassung aus 2) wird die bereits berechnete Gleichung zu

$\begin{eqnarray*} \ln f = \ln ... \end{eqnarray*}$

und da kann man dann ja wohl auf beiden Seiten den ln auch weglassen?
...

04.07.2014, 13:22

10001000Nick1

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Wieso haben wir uns "verlaufen"? Mit deinem Weg kommt man auf das gleiche wie bei unserem Weg (bis auf die Beträge; wieso hast du die weggelassen?)

@zgns: Wir waren ja bei $\begin{eqnarray*} \left|f\right|=c_2\cdot\left|x^3\right|, c_2>0 \end{eqnarray*}$ .
D.h. man kann auch schreiben $\begin{eqnarray*} f=\pm c_2\cdot x^3, c_2>0 \end{eqnarray*}$
Und da kann man jetzt statt $\begin{eqnarray*} \pm c_2 \end{eqnarray*}$ auch eine neue Konstante $\begin{eqnarray*} c_3 \end{eqnarray*}$ einführen, die alle Werte ungleich 0 annehmen darf.

$\begin{eqnarray*} f=c_3 x^3, c_3\neq 0 \end{eqnarray*}$ ist dann die Lösung der Differentialgleichung.

04.07.2014, 13:46

Bernhard1

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Zitat:

Original von 10001000Nick1
Wieso haben wir uns "verlaufen"? Mit deinem Weg kommt man auf das gleiche wie bei unserem Weg (bis auf die Beträge; wieso hast du die weggelassen?)

Oops. Ich habe übersehen, dass zgns oben neue Aufgaben angeschrieben hat. Mein voriger Beitrag ist damit überflüssig geworden.

04.07.2014, 15:07

Bernhard1

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Zitat:

Original von zgns
$\begin{eqnarray*} |f| = e^{\frac{1}{2}*ln^2|x|} * e^{|c|} \end{eqnarray*}$

1) Die Faktoren 2 und 1/2 heben sich gegenseitig weg
2) Den Betrag bei $\begin{eqnarray*} ln^2|x| \end{eqnarray*}$ kann man weglassen, weil hier per Definition bereits x>0
2) exp(ln(x)) = x

04.07.2014, 16:08

zgns

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ah okay,

d.h. ich habe dann bei b) f(x) = cx und bei c) f(x)=ce^x mit jeweil c ungleich null?

04.07.2014, 18:08

Bernhard1

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Zitat:

Original von zgns
d.h. ich habe dann bei b) f(x) = cx

Wenn man unsicher ist solllte man die Lösungen von Differentialgleichungen (DGL) immer testen, d.h. nachrechnen, ob die Lösung auch wirklich die DGL erfüllt ...
und das ist hier leider nicht der Fall, weil ich erneut nicht aufgepasst habe.

04.07.2014, 18:21

Bernhard1

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Zitat:

Original von Telefonmann1

Zitat:

Original von zgns
$\begin{eqnarray*} |f| = e^{\frac{1}{2}*ln^2|x|} * e^{|c|} \end{eqnarray*}$

1) Die Faktoren 2 und 1/2 heben sich gegenseitig weg

Stimmt leider nicht. Quadriert wird hier nicht x, sondern der Logarithmus. Das Ergebnis steht deswegen fast schon da. Man kann nur noch die beiden e-Funktionen zusammenfassen:

$\begin{eqnarray*} |f(x)| = e^{(\frac{1}{2}\cdot ln^2 x + c)} \end{eqnarray*}$

EDIT: Bei Aufgabe c) hast du die Lösung oben bereits korrekt angegeben. Ich persönlich würde ebenfalls die e-Funktionen zusammenfassen, damit es etwas übersichtlicher aussieht:

$\begin{eqnarray*} |f(x)| = e^{(\frac{1}{2}x^2 + c)} \end{eqnarray*}$

EDIT,EDIT: Aufgabe d) analog. Ergebnis passt. Die e-Funktionen können je nach Geschmack noch zusammengefasst werden.

04.07.2014, 19:00

zgns

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also b und d kann man nicht mehr zusammenfassen, aber b mit f(x) = ce^x ist nicht richtig?

04.07.2014, 19:06

zgns

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und für b gilt doch c>-0.5lnx und bei d c>-e^x, oder?

04.07.2014, 19:10

Bernhard1

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Zitat: