Konvergenz Zufallsvariabeln

04.07.2014, 11:18	GinSch	Auf diesen Beitrag antworten »
Meine Frage: Hallo, ich versuche folgende Aufgabe zu lösen: Seien $\begin{eqnarray} X_i Exp\left(\lambda\right) \end{eqnarray}$ iid verteilt, $\begin{eqnarray} i\in\mathbb{N} \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie direkt, dh ohne den zentralen Grenzwertsatz zu benutzen, dass $\begin{eqnarray} \frac{\sum_{i=1}^n X_i-nE\left[X_1\right]}{\sqrt{nV\left(X_1\right)}} \end{eqnarray}$ in Verteilung gegen eine Standardnormalverteilung konvergiert. Meine Ideen: Meine Ideen: 1. Satz von Levy, aber ich weiß nicht genau, wie ich mit der char. Funktion umgehen soll und wie ich Konvergenz zeigen kann. Habe mir überlegt, dass die char. Funktion des Bruches, ich nenne ihn mal S_n $\begin{eqnarray} E\left[e^{i\langle u, S_n\rangle}\right]=E\left[exp\left(\left(iu\sqrt{nV\left(X_1\right)}\right)\cdot\left(\sum X_i-nE\left(X_1\right)\right)\right)\right]=exp\left(iu\sqrt{nV\left(X_1\right)}\right)E\left[exp\left(\sum X_i-nE\left(X_1\right)\right)\right] \end{eqnarray}$ ist. Stimmt das soweit, komme ich damit weiter und wenn ja wie? 2. Gesetz der großen Zahlen, es besagt ja, dass der Zähler gegen null geht, aber hilft mir das? 3. Vielleicht doch ein ganz anderer Ansatz?

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