Eigenwerte einer 4x4 Matrix

04.07.2014, 15:38

elektroprinz

Eigenwerte einer 4x4 Matrix

Hi,

also ich habe folgende Matrix:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 12& 0& 0& 0&\\ 0& 5& 1& 0&\\ 0& 0& 1& 2&\\ 0& 0& 2& 1& \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Zu dieser Matrix soll ich die Eigenwerte berechnen.
Mein erster Schritt war die 4. Zeile - 2*3. Zeile, sodass ich eine obere Dreickecksmatrix bekomm.
Dann durchgerechnet und meine Eigenwerte wären: 12, 5, 1, -3

(12-k)(5-k)(1-k)(-3-k)=0

Laut Lösung sollte aber 12, 5, -1, 3 rauskommen. Kann mir vielleicht jemand sagen wo mein Fehler liegt?

04.07.2014, 15:52

bijektion

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Warum berechnest du nicht einfach die Nullstellen des charakteristischen Polynoms?

04.07.2014, 16:02

elektroprinz

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(12-k)(5-k)(1-k)(-3-k)=0

Hab ich ja gemacht, nur weiß ich nicht wo der Vorzeichendreher herkommt.

04.07.2014, 22:09

Bernhard1

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Hi e-prinz,

die Aufgabe ist derart übersichtlich, dass ich hier einen Tipp- oder auch Flüchtigkeitsfehler vermute. So etwas kann schon mal vorkommen. Es gibt aktuell immerhin eine relativ spannende Fußball-WM Augenzwinkern

05.07.2014, 01:16

Matheneuling1991

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Bin nur drüber geflogen, aber soweit ich das sehe, beginnst du mit den Umformungen bevor du das k in die Determinante reinpackst und das geht meines Wissens nach nicht, oder?! smile

Ich würde es deshalb mal versuchen indem du zuerst setzt:

$\begin{eqnarray*} det\begin{vmatrix} 12-k& 0& 0& 0&\\ 0& 5-k& 1& 0&\\ 0& 0& 1-k& 2&\\ 0& 0& 2& 1-k& \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

und das dann durch lineare Umformungen(oder hier einfach durch die Berechnung der Determinante) die Eigenwerte bestimmst

05.07.2014, 10:42

Bernhard1

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Zitat:

Original von Matheneuling1991
Bin nur drüber geflogen, aber soweit ich das sehe, beginnst du mit den Umformungen bevor du das k in die Determinante reinpackst und das geht meines Wissens nach nicht, oder?! smile

Stimmt. Man muss die Rechenregeln für Determinanten auf (M - kE) anwenden Hammer

.

EDIT: Die gesuchten Eigenwerte sind mit der von Matheneuling angegebenen Determinante zudem vergleichsweise leicht zu berechnen (Mitternachtsregel).

05.07.2014, 13:36

RavenOnJ

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RE: Eigenwerte einer 4x4 Matrix
Nur eine Anmerkung zum Latex-Code:
Benutze besser \pmatrix
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1&2&3\\3&4&5\\6&7&8\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
oder \bmatrix
$\begin{eqnarray*} \begin{bmatrix}1&2&3\\3&4&5\\6&7&8\end{bmatrix} \end{eqnarray*}$
für die Darstellung einer Matrix. Das Latex-command \vmatrix (senkrechte Striche) wird üblicherweise für die Determinante benutzt. Siehe auch hier.

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