Ableitung mit Differenzenquotient

04.07.2014, 17:31

Differenzenquotient

Ableitung mit Differenzenquotient

Hallo,

folgende Aufgabe:

Ableitung mit Hilfe des Differenzenquotienten bilden:

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^{x} \end{eqnarray*}$

Meine Idee:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} = \lim_{x \to a} \frac{x^{x}- a^{a} }{x-a} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} = \lim_{x \to a} \frac{e^{x*ln(x)}- e^{a*ln(a)} }{x-a} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} = \lim_{x \to a} \frac{e^{\frac{x*ln(x)}{a*ln(a)} } }{x-a} \end{eqnarray*}$

Danach weiß ich irgendwie nicht so recht weiter. Hatte es auch mit der h-Methode versucht, aber da kam ich überhaupt nicht weiter, zumal ich diese Methode oftmals einfacher finde.
Könnt ihr mir einen Tipp geben, bitte? smile

04.07.2014, 17:58

Leopold

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Die letzte Umformung ist völlig falsch. Ein entsprechendes Potenzgesetz gibt es nicht.

Wer gibt denn eine solche Aufgabe auf?
Mir fällt dazu nur ein, den Erweiterungstrick, den man beim Beweis der allgemeinen Kettenregel verwendet, hier im Spezialfall nachzubilden. Aber da kann man auch gleich die Kettenregel beweisen.

04.07.2014, 18:16

Differenzenqoutient

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Oh Moment, nicht, dass ich jetzt was Falsches gemacht habe. Hatte mich gerade bei der Aufgabenstellung verlesen. Es gilt bei dieser Aufgabe, den max. Def.bereich anzugeben, die Fkt. auf Diff'barkeit zu untersuchen und ggfs. die Ableitung anzugeben.

Aber bisher bin ich davon ausgegangen, dass ich das mit dem Differenzenquotienten nachweisen muss, weil das im Moment auch unser Thema ist. Gibt es denn sonst noch eine Möglichkeit?

Zur letzten Umformung: Das werde ich dann wohl mit den Logarithmusregeln etwas verwechselt haben.

04.07.2014, 18:37

Leopold

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$\begin{eqnarray*} f(x) = x^x = \operatorname{e}^{x \cdot \ln x} \end{eqnarray*}$

Das ist eine Verkettung. Für den Definitionsbereich achte auf die innere Funktion.
Für die Ableitung beachte die Kettenregel.

04.07.2014, 18:46

Differenzenquotient

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Also als max. Def.bereich habe ich ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ raus, weil ich ja jedes x einsetzen darf.

Reicht es denn aus, wenn ich einfach "nur" die Kettenregel anwende? Werde mich da mal eben dran versuchen. Danke dir schon einmal!

04.07.2014, 18:55

Leopold

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Zitat:

Original von Differenzenquotient
Also als max. Def.bereich habe ich ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ raus, weil ich ja jedes x einsetzen darf.

Das ist falsch.

Zitat:

Original von Leopold
Für den Definitionsbereich achte auf die innere Funktion.

04.07.2014, 18:56

Differenzenquotient

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Ok, also als Ableitung habe ich dann Folgendes raus:

$\begin{eqnarray*} g'(x)= (ln(x)+1)*(e^{x*ln(x)}) \end{eqnarray*}$

Aber nutze ich hier nicht im Prinzip schon die Voraussetzung, dass die Funktion diff'bar ist? Ich meine, ich nehme ja an, dass sie diff'bar ist, sonst könnte ich sie ja gar nicht ableiten, oder? Das erscheint mir ehrlich gesagt, etwas zu einfach zu sein (was ja aber durchaus sein kann).

04.07.2014, 18:59

Differenzenquotient

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Ahhh, ok. Hatte mir das e dazu noch angeschaut. Dann ist der max. Def.bereich nur für $\begin{eqnarray*} \mathbb R _{>0} \end{eqnarray*}$ definiert, oder?

04.07.2014, 19:09

Leopold

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1. Du nutzt aus, daß die Funktion $\begin{eqnarray*} x \mapsto x \end{eqnarray*}$ differenzierbar ist.
2. Du nutzt aus, daß die Funktion $\begin{eqnarray*} x \mapsto \ln x \end{eqnarray*}$ differenzierbar ist.
Das dürfte bekannt sein und darf verwendet werden.

3. Du nutzt aus, daß die Funktion $\begin{eqnarray*} x \mapsto x \cdot \ln x \end{eqnarray*}$ differenzierbar ist. Das ist Inhalt der Produktregel. Voraussetzung dabei ist nur, daß die Faktoren differenzierbar sind. Das ist aber nach 1. und 2. gegeben.
Die Produktregel dürfte bekannt sein und darf verwendet werden.

4. Du nutzt aus, daß die Exponentialfunktion differenzierbar ist.
Das dürfte bekannt sein und darf verwendet werden.

5. Du nutzt aus, daß die Funktion $\begin{eqnarray*} x \mapsto \operatorname{e}^{x \cdot \ln x} \end{eqnarray*}$ differenzierbar ist. Das ist Inhalt der Kettenregel. Voraussetzung dabei ist nur, daß die innere und äußere Funktion differenzierbar sind. Das ist aber nach 3. und 4. gegeben.
Die Kettenregel dürfte bekannt sein und darf verwendet werden.

Die Ableitung stimmt. Für den hinteren Teil kannst du wieder $\begin{eqnarray*} x^x \end{eqnarray*}$ schreiben.

Der maximale Definitionsbereich ist die Menge der positiven reellen Zahlen. Das stimmt also. Den Grund dafür hast du aber noch nicht einsichtig gemacht.

04.07.2014, 19:18

Differenzenquotient

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Ok, also ist das wie bei der Stetigkeit zu betrachten: Die Komposition diff'barer Funktionen ist diff'bar? (Gut, ist ja übersetzt eigentlich genau das, was du geschrieben hast).

Die Funktion ist nur für die positiven reellen Zahlen definiert, weil $\begin{eqnarray*} x*ln(x) \end{eqnarray*}$ für negative (0 eingeschlossen) reelle Zahlen nicht definiert ist. Dazu kann ich mir aber auch erst einmal nur den ln(x) anschauen, der ja asymptotisch zur y-Achse für positive reelle x verläuft.

Warum aber muss ich mir nur die innere Funktion für den Def.bereich anschauen?

04.07.2014, 19:28

Leopold

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Weil die äußere (glücklicherweise) überall definiert ist.

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