Ablesen einer zweiten Basislösung (Simplex Algorithmus)

05.07.2014, 14:03	Hablamos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ablesen einer zweiten Basislösung (Simplex Algorithmus) Hallo, ich verstehe nicht wie man bei folgender Simplexmatrix die zweite Basislösung durch hinschauen finden kann. Die erste ist mir noch verständlich, die würde zwar reichen um den Simplexalgorithmus zu beginnen, jedoch würde ich trotzdem gern wissen wie man auf die zweite durch hinschauen kommt, denn ich seh es leider nicht. (ich konnte leider keine Matrix in latex mit 6 Spalten erstellen) $\begin{eqnarray} <br /> \begin{pmatrix} 10 & 10 & 5\\ 5 & 10 & 10 \\ 15 & 5 & 10 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ z_1\\z_2\\z_3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 600 \\ 400\\ 800 \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray}$ Die erste Basislösung ist, in dem man x1, x2, x3 auf Null setzt und die Schlupfvariablen auf das jeweilige Ergebnis. In dem Fall $\begin{eqnarray} (0, 0 , 0 , 600, 400, 800) \end{eqnarray}$ . Nun steht hier noch, das man durch hinschauen die zweite Basislösung leicht ablesen kann : $\begin{eqnarray} (\frac{160}{3} , 0 , 0 , \frac{200}{3} , \frac{400}{3} ,0) \end{eqnarray}$ Mir ist zwar klar, das wenn ich die Werte einsetze, das ich auf das jeweilige Ergebnis komme, jedoch verstehe ich nicht wie man da so "leicht" draufkommt.
05.07.2014, 14:44	Math1986	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ablesen einer zweiten Basislösung (Simplex Algorithmus) Gemeint ist also? $\begin{eqnarray} <br /> \begin{pmatrix} 10 & 10 & 5 & 1 & 0 & 0 \\ 5 & 10 & 10 & 0 & 1 & 0 \\ 15 & 5 & 10 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ z_1\\z_2\\z_3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 600 \\ 400\\ 800 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Zunächst bringst du das in die Form ohne Schlupfvariablen: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 10 & 10 & 5\\ 5 & 10 & 10 \\ 15 & 5 & 10 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \leq\begin{pmatrix} 600 \\ 400\\ 800 \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray}$ Setzte nun $\begin{eqnarray} x=\begin{pmatrix}\frac{160}3\\0\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Es ist offenbar $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 10 & 10 & 5\\ 5 & 10 & 10 \\ 15 & 5 & 10 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}\frac{160}3\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{1600}3\\\frac{800}3\\800\end{pmatrix} \leq\begin{pmatrix} 600 \\ 400\\ 800 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die Werte der Schlupfvariablen erhältst du durch Substraktion.
06.07.2014, 00:48	Hablamos	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau das habe ich gemeint. Ich verstehe nur nicht woran du siehst, das du $\begin{eqnarray} x=\begin{pmatrix} \frac{160}{3} \\ 0\\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ setzen musst.
06.07.2014, 12:18	Math1986	Auf diesen Beitrag antworten »
Im Prinzip ausprobieren Man hat eben einfach mal $\begin{eqnarray} x_2=x_3=0 \end{eqnarray}$ gesetzt, und dann $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ so gewählt, dass alle Ungleichungen erfüllt sind, also $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 10 & 10 & 5\\ 5 & 10 & 10 \\ 15 & 5 & 10 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ 0 \\0\end{pmatrix} \leq\begin{pmatrix} 600 \\ 400\\ 800 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Daraus ergeben sich die Ungleichungen: $\begin{eqnarray} 10\cdot x_1\leq 600\Rightarrow x_1\leq 60 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 5\cdot x_1\leq 400\Rightarrow x_1\leq 80 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 15\cdot x_1\leq 800\Rightarrow x_1\leq\frac{160}3 \end{eqnarray}$ Da eben alle 3 ungleichungen erfüllt seien müssen, nimmt man sich das Minimum der rechten Seiten, also $\begin{eqnarray} x_1=\frac{160}3 \end{eqnarray}$ .
06.07.2014, 15:45	Hablamos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah danke dir, jetzt habe ich es verstanden. So ganz durch "hinschauen" ist es ja dann doch nicht - zumindest wenn man kein Mathematiker ist .

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