Minimum vom Maximum

05.07.2014, 16:04

Mathelover

Minimum vom Maximum

Hallo Freunde,

kurz eine Verständnisfrage:

Was ist denn das Minimum vom Maximum einer Funktion.

Also als Beispiel:
$\begin{eqnarray*} <br /> min\text{ } max (x+1)^2<br /> \end{eqnarray*}$

Was heißt das jetzt? Was betrachte ich da genau?

05.07.2014, 16:06

Leopold

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Bitte gib die Aufgabe vollständig an. In der jetzigen Form ist sie sinnlos.

05.07.2014, 16:18

Mathelover

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Also die Aufgabe lautet folgendermaßen:

05.07.2014, 16:40

Leopold

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Das ist ja schon einmal etwas ganz anderes.

Mache dir erst eine Skizze des Graphen der Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} f(x) = \max \left\{ \, (x+1)^2 \, , \, (x-1)^2 \, \right\} \end{eqnarray*}$

Du mußt dir dazu nur die beiden Parabeln skizzieren. Und nimm an jeder Stelle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ immer den oberen Punkt der beiden Parabeln. So kommst du zum Graphen von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ . Und das Minimum von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ kannst du dann unmittelbar der Zeichnung entnehmen.

05.07.2014, 16:53

Mathelover

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Also ich habe nicht so ganz verstanden was du mit "nimm an jeden Punkt x den größeren der beiden" meinst.

Ich habe nun die beiden Parabeln gezeichnet.
Wie komme ich jetzt auf mein f(x)?

EDIT: habe verstanden was du meinst.
f(x) ist dann sozusagen die Parabel mit dem y-achstenabschnitt 1.
Das Minimum von f ist dann wohl 0

Richtig?

05.07.2014, 17:02

Leopold

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Zitat:

Original von Mathelover

f(x) ist dann sozusagen die Parabel mit dem y-achstenabschnitt 1.

Auch wenn es vielleicht gut gemeint ist, sollte man es nicht so ausdrücken. Der Graph von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist keine Parabel. Schließlich hat er ja bei $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ ein Stelle von Nichtdifferenzierbarkeit.
Um es noch einmal klarzustellen: Links der $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ -Achse ist es das grüne Stück, rechts der $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ -Achse das rote Stück, das zum Graphen von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ gehört.

Zitat:

Original von Mathelover
Das Minimum von f ist dann wohl 0

Richtig?

Wie kommst du denn darauf? Das Bild zeigt offensichtlich etwas anderes.

05.07.2014, 17:05

Mathelover

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Zitat:

Original von Mathelover
Das Minimum von f ist dann wohl 0

Richtig?

Wie kommst du denn darauf? Das Bild zeigt offensichtlich etwas anderes.

Sorry ich meinte natürlich 1.

05.07.2014, 17:11

Leopold

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Ja, das ist richtig.

Mache dir das Vorgehen noch einmal klar. Der Trick war die Einführung der Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \min_{x \in \mathbb{R}} \underbrace{\max_{i \in \{ -1,1 \}} (x+i)^2}_{f(x)} \end{eqnarray*}$

05.07.2014, 17:24

Mathelover

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Danke sehr Leopold.

Aber was bringt mir das jetzt für die Aufgabe, dass das min(f(x)) = 1?

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