Projektive Räume

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memalina Auf diesen Beitrag antworten »
Projektive Räume
Meine Frage:
Wir haben in der letzten Zeit Projektive Räume in der Uni gemacht, dieses Thema ist mir allerdings noch nicht vollkommen klar. Es gab folgende Aufgabe dazu, die ich nicht lösen kann :-(

Es sei K ein endlicher Körper mit q Elementen.
a) Wieviele Punkte enthält der projektive Raum P^n (K)?
b) Wie viele projektive Geraden enthält die projektive Ebene P^2(K)?
c) Bestimmen sie explizit alle Geraden L in P^2(F2) durch Angabe aller Punkte P Element aus L. Veranschaulichen Sie die Inzidenstruktur der Ebene P²(F2).

Meine Ideen:
Folgende Dinge habe ich mir bisher überlegt (ist echt noch nicht so viel, aber ich weiß nicht wie ich da rangehen soll):

a) Da K endlich ist, ex. eine endliche Basis S mit q Basisvektoren. Dazu muss jeder Punkt durch diese Vektoren erzeugt werden können. Nun komme ich aber zu meinem Problem: Es gibt ja nicht nur q Punkte, denn Punkte können ja auch durch Linearkombinationen von Basisvektoren untereinander entstehen. Wie komme ich dadurch also auf die Anzahl der Punkte?

b) Auch hier habe ich meine Probleme. Ein Punkt ist also wie folgt aufgebot:
P = xo:x1:x2, da wir uns in P² befinden. Soweit ich das verstanden habe, kann man die Punkte in eine Art "Normalform" überführen, also:
P1= 0:0:a, hierfür gibt es q-1 Möglichkeiten, da a ungleich 0.
P2=0:a:b, hierfür gibt es (qxq)-1 Möglichkeiten, da a:b ungleich 0
etc. Ich komme dadurch ja aber auf eine Vielzahl von Punkten, wie also soll ich dann auch noch die Anzahl der Geraden berechnen? Bin ich auf dem falschen Weg?

c) Hier bin ich schon etwas weiter. Ich habe in P²(F2) folgende Punkte:
P1=0:0:1,
P2=0:1:1
P3=0:1:0
P4=1:1:1
P5:1:1:0
P6=1:0:1
P7=1:0:0.
Dann ziehe ich ja einfach durch je zwei Punkte eine Grade. Das einzige, wo ich hierbei Fragen habe ist das zeichnen. Zeichne ich die Punkte und Geraden in ein dreidimensionales Koordinatensystem? Weil ich habe ja drei Koordinaten? Das erscheint mir irgendwie falsch.


Ihr seht, ich habe echt noch viele Fragezeichen. Wäre sehr nett, wenn mir einer helfen könnte!!

Ganz liebe Grüße und dankeschön vorab.
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Projektive Räume
Hallo,

a) Die Punkte sind schlicht und einfach die eindimensionalen Untervektorräume des m-dimensionalen kanonischen Vektorraumes über K. Überlege dir mal, wie viele Basen du zu einem solchen Untervektorraum finden kannst.
interessant ist hier der sogenannte Gauß-Koeffizient.

b) Wie viele Punkte kannst du denn mit q Basisvektoren erzeugen? Der Ansatz geht schonmal ganz in die richtige Richtung.

c) Die Punkte stimmen. Du musst due Punkte nun in eine 2-dimensionale Ebene zeichnen und sie durch (nicht notwendig gerade) Geraden verbinden.
memalina Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Projektive Räume
Vielen lieben Dank für deine Antwort, allerdings ist mir das noch nicht ganz klar.


(a) Gauß- Koeffizient habe ich noch nie gehört, meine ich. Habe hierzu im Internet eben eine Formel gefunden und durch einsetzen folgendes erhalten:
((q^m)-1) / ( q-1). Was genau ist aber q ? Und was ist m? Das Vorgehen dahinter ist mir nicht wirklich schlüssig verwirrt


(b) Eben daran scheitern ja meine Überlegungen. Ich weiß es nicht. Habe versucht es mir zu erschließen, in dem ich das ausprobiere, also sei B die Basis mit {s1,...,sq}.

Dann gibt es zunächst q triviale Punkte, nämlich einfach die Vektoren, also quasi P1,...Pq.

Dann wiederum kombiniert man ja die Basisvekotren untereinander. Ich habe das mal ausprobiert für diverse q. Ich komme hierbei auf folgende Ergenisse.

q=1 hat 1 Punkt
q=2 hat 3 Punkte
q=3 hat 7 Punkte
q=4 hat 14 Punkte. Ich erkenne hierbei allerdings keine Regelmäßigkeit.


EDITSorry, edit jetzt erst gesehen. Aber gerade damit macht meine Erkenntnis erst Recht keinen Sinn. Was bei q=2 noch funktioniert, klappt danach nicht mehr. Oder sind meine Werte falsch?

(c) Wie zeichne ich denn die homogenen Koordinaten in ein zweidimensionales Koordinatensystem? Weil ich habe doch drei homogene Koordinaten. Gibts dafür irgendeine Formel?
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Projektive Räume
Der Gauß-Koeffizient gibt dir die Anzahl d-dimensionaler Unterräume über einem m-dimensionalen Vektorraum an.

Okay, erstmal zur c):
Du zeichnest P1 bis P7 erstmal als Punkte, und ignorierst die Koordinaten. Von den Punkten verbindest du diejenigen zu einer Geraden, die zueinander inzident sind. Da kommt dann das hier raus.

Könntest du für die anderen Aufgaben nochmal widerholen wie ihr das mit den Punkten eingeführt habt?
memalina Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Projektive Räume
Okay, also in meiner speziellen Aufgabe gibt er mir also die Anzahl der eindimensionalen Unterräume über einen q-dimensionen Vekorraum an!? Da K ja endlich mit q ist? Oder bin ich völlig auf dem Holzweg? Sitze schon so lange an der doofen Aufgabe, dass ich verwirrt bin..


zu (c) Wie soll ich aber Punkte ohne Koordinaten zeichnen? Das ist mir nicht so ganz klar. Meine Struktur müsste dann ja eigentlich genauso aussehen, wie das Bild da, richtig? Aber warum ist das so?

Zu der Einführung mit den Punkten habe ich mal die Vorlesungsmitschrift angefügt. Das ist alles was wir zu Projektiven Räumen gemacht haben.
edit Irgendwie klappt das mit dem Hochladen nicht. Ich versuche es mal anders. Meintest du das mit Einführung der Punkte?
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Projektive Räume
Nunja, die Vorlesungsmitschrift sehe ich nicht.

Man kann projektive Räume so einführen, dass die Punkte eben die eindimensionalen und die Blöcke die d-dimensionalen Untervektorräume eines n-dimensionalen Vektorraumes der Charakteristik q ist (Punkte und Blöcke bezogen auf die Inzidenzzstruktur).
Wie habt ihr das eingeführt? Genauso oder anders?
 
 
memalina Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Projektive Räume
Hier die Einführung: (Soll ich dir die anderen Sachen auch noch hochladen?):
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Projektive Räume
Soweit ist das okay.
Also das Entscheidende ist Definition 1:
K ist Körper mit p Punkten und V ein Vektorraum über K

(Die Elemente hiervon werden als "Punkte" bezeichnet)
So weit, so gut.

Nun definiert man


In Aufgabe 1 geht es nun darum, zu bestimmen, wie viele Punkte enthält.

Dazu überlegt man sich Folgendes:
1) Um eine Basis eines beliebigen 1-dimensionalen Vektorraumes zu finden muss man sich einfach nur einen beliebigen Nicht-Null-Vektor nehmen. Davon gibt es im offenbar .
2) Jeder eindimensionale Untervektorraum enthält selbst Elemente, und damit genau mögliche Basen.

Man erhält so insgesamt verschiedene Punkte.
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