Satz von Stokes/Green

06.07.2014, 17:15

HBX8X

Satz von Stokes/Green

Ich setze mich gerade mit einer Aufgabe auseinander, in der ich den Satz von Green anwenden soll. Den Satz von Green haben wir wie folgt definiert:

$\begin{eqnarray*} \int_{dB}^{} \! \vec{v} d\vec{x}=\int_B^{} \! rot\vec{v} \, dF \end{eqnarray*}$

Anscheinend handelt es sich bei diesem Satz nach eigenem recherchieren eher um den Satz von Stokes wenn man wiki etc. glauben schenken mag (Deshalb der Threadtitel).

Die Aufgabe befindet sich im Anhang, leider weiss ich nicht ganz was ich machen soll.

Meine Idee:

Ich habe ja die Kurve w(a) gegeben. Wenn ich nun den Satz von Green laut Definition anwende, sollte ich wohl zunächst die Rotation von w(a) berechnen. Ab hier weiss ich nicht mehr weiter was zu tun ist. /: Für einen Tipp wäre ich euch sehr dankbar.

06.07.2014, 18:09

Leopold

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Mir ist nicht ganz klar, was du mit der Rotation willst. Die gibt es doch nur im dreidimensionalen Fall.

Man kann zum Beispiel die Differentialform $\begin{eqnarray*} \omega = x ~ \dd y \end{eqnarray*}$ nehmen. Für diese gilt: $\begin{eqnarray*} \dd \omega = \dd x \wedge \dd y \end{eqnarray*}$ .
Nach dem allgemeinen Stokesschen Satz $\begin{eqnarray*} \int_{B} \dd \omega = \int_{\partial B} \omega \end{eqnarray*}$ heißt das im konkreten Fall:

$\begin{eqnarray*} \int_{B} \dd (x,y) = \int_{\partial B} x ~ \dd y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ ist in der Aufgabe der Bereich zwischen der $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Achse und der Kurve, $\begin{eqnarray*} \partial B \end{eqnarray*}$ der positiv orientierte Rand von $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ , also die Strecke von $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} 2 \pi \end{eqnarray*}$ , daran anschließend die Kurve $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ im Rückwärtsgang.

Wenn du den Satz von Green in der Sprache der Vektoranalysis haben willst, dann ist im Link

$\begin{eqnarray*} f(x,y) = 0 \, , \ \ g(x,y) = x \end{eqnarray*}$

Oder als Vektorfeld: $\begin{eqnarray*} \vec{v} = \vec{v}(x,y) = (0,x) \end{eqnarray*}$

Im Link hat das Integral auf der linken Seite der Gleichung den Integranden $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ , berechnet also den Flächeninhalt von $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ (bei uns $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ ). Und der Greensche Satz sagt gerade, daß das Kurvenintegral über $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ (bei uns $\begin{eqnarray*} \partial B \end{eqnarray*}$ ) auf der rechten Seite dasselbe auch leistet. Dort ist der Integrand $\begin{eqnarray*} x ~ \dd y \end{eqnarray*}$ .

Jetzt berechne also das Kurvenintegral

$\begin{eqnarray*} \int_{\partial B} x ~ \dd y \end{eqnarray*}$

Wenn man mit $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ die Strecke von $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} 2 \pi \end{eqnarray*}$ bezeichnet, kannst du es so zerlegen:

$\begin{eqnarray*} \int_{\partial B} x ~ \dd y = \int_{\sigma} x ~ \dd y - \int_{\gamma} x ~ \dd y \end{eqnarray*}$

Das Minuszeichen vor dem zweiten Integral rührt daher, daß $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ laut Parameterdarstellung von links nach rechts durchlaufen wird, bei uns aber die Gegenrichtung gebraucht wird. Und das Minuszeichen korrigiert dies.

Die Parametrisierung von $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ ist simpel:

$\begin{eqnarray*} \sigma: \ x=t \, , \ y=0 \, ; \ 0 \leq t \leq 2 \pi \end{eqnarray*}$

Offenbar ist hier $\begin{eqnarray*} \dd y = 0 \end{eqnarray*}$ , so daß von $\begin{eqnarray*} x ~ \dd y \end{eqnarray*}$ gar nichts mehr übrigbleibt. Also kannst du den ersten Summanden vergessen:

$\begin{eqnarray*} \int_{\partial B} x ~ \dd y = - \int_{\gamma} x ~ \dd y \end{eqnarray*}$

Die Parametrisierung von $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ ist ja angegeben. Mit $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ lautet sie:

$\begin{eqnarray*} \gamma: \ x = t - \sin t \, , \ y = 1 - \cos t \, ; \ 0 \leq t \leq 2 \pi \end{eqnarray*}$

06.07.2014, 18:55

HBX8X

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Hallo und vielen dank für diesen sehr ausführlichen Post. Ich hätte da jedoch erst einmal eine Frage, die ich mir selbst leider nicht beantworten kann. Um die Aufgabe zu lösen nutze ich die auf Wikipedia und dir geratenen Definition des integralsatzes von Green.

Wie kommst du auf folgendes und was soll es genau darstelen?
$\begin{eqnarray*} f(x,y) = 0 \, , \ \ g(x,y) = x \end{eqnarray*}$

bzw. $\begin{eqnarray*} \vec{v} = \vec{v}(x,y) = (0,x) \end{eqnarray*}$

Edit: Ich denke das x soll die erste Komponente des gegebenen Weges darstellen ?

06.07.2014, 20:03

Leopold

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Zitat:

Original von HBX8X
Edit: Ich denke das x soll die erste Komponente des gegebenen Weges darstellen ?

Mit einem Weg hat das gar nichts zu tun. $\begin{eqnarray*} f,g \end{eqnarray*}$ sind einfach zwei reelle Funktionen zweier reeller Variabler, die zusammen ein Vektorfeld bilden: $\begin{eqnarray*} \vec{v} = (f,g) \end{eqnarray*}$

Was wollen wir eigentlich erreichen? Doch das Integral

$\begin{eqnarray*} A = \int_B \dd (x,y) = \int_B 1 ~ \dd (x,y) \end{eqnarray*}$

berechnen, denn genau das gibt den gesuchten Flächeninhalt $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ an (möglicherweise schreibt ihr $\begin{eqnarray*} \dd F \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \dd \vec{F} \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} \dd (x,y) \end{eqnarray*}$ , die Physiker sind da oft sehr erfindungsreich). Wenn du den Wikipedia-Artikel liest, siehst du, daß beim Integral über den Flächenbereich als Integrand

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial g}{\partial x}(x,y) - \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) \end{eqnarray*}$

steht. Und wenn du jetzt speziell $\begin{eqnarray*} f(x,y) = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(x,y) = x \end{eqnarray*}$ wählst, dann ergibt das eben $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ . Du könntest auch andere Wahlen treffen, zum Beispiel

$\begin{eqnarray*} f(x,y) = -y \, , \ \ g(x,y) = 0 \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} f(x,y) = - \frac{1}{2} y \, , \ \ g(x,y) = \frac{1}{2} x \end{eqnarray*}$

Probiere es aus. Bei diesen Vorgaben ergibt sich immer $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ als Integrand. Deswegen kannst du bei allen drei Wahlen mit Hilfe des Satzes von Green den Flächeninhalt durch ein Kurvenintegral bestimmen.

06.07.2014, 22:00

HBX8X

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Sind 3pi richtig ?Und wenn ja (Das klingt für mich etwas zu wenig aus welchen Grund auch immer) hat es eine Maßeinheit? Wohl wahrscheinlich nicht (z.b. FE)...

06.07.2014, 23:13

Leopold

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Die Kästchen 1 bis 4 liegen ganz, 5 bis 7 überwiegend und 8 und 9 mit deutlich mehr als der Hälfte im Innern der Fläche. Man kann sich gut die Größe der Fläche vorstellen. Ja, $\begin{eqnarray*} 3 \pi \end{eqnarray*}$ ist richtig.

07.07.2014, 12:43

HBX8X

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Danke sehr, war gar nicht so schwer im nachhinein. Wink

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