Partielle Ableitung + Nullstelle + Tangentialebene

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dharma Auf diesen Beitrag antworten »
Partielle Ableitung + Nullstelle + Tangentialebene
Meine Frage:
Hallo, habe folgende Funktion:
z=f(x,y)=x²+2y²-2xy²
Aufgabenstellung:
1.) 1. partielle Ableitung für fx und fy bilden.
2.) auf gemeinsame Nullstellen + lokale Extrema untersuchen
3.) Stellen Sie die Gleichung der Tangentialebene an die Fläche im Punkt (0; 1; f(0; 1)) auf.

Meine Ideen:
1.) f'x(x,y) = 2x-2y² ; f'y(x,y) = -4*(x-1)*y
2.) Hier bleib ich stecken. Meine Idee ist es, dass ich 2x-2y² = 0 setze.
Wenn ich das auflöse bekomme ich x = y². Wie ich weiter vorgehen muss weiß ich allerdings nicht.
3.)Hier weiß ich ebenfalls nicht wie ich vorgehen muss.

Wenn jemand Zeit und Lust hat mir gewisse Ansätze zu liefern wäre ich sehr dankbar!
dharma Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Partielle Ableitung + Nullstelle + Tangentialebene
Habe grade noch etwas weiter gerechnet bei 3.) und für z=4-5y+2x rausbekommen. Kann das richtig sein?
dharma Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Partielle Ableitung + Nullstelle + Tangentialebene
Edit zu 3.) : hab es nochmals gerechnet und habe z = 1,9x-3,6y+5,6 rausbekommen. Kann mir jmd. evtl hier wenigstens weiterhelfen?
Bernhard1 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo dharma,

Punkt 1 hast Du gelöst.
Bei Punkt 2 muss der Gradient verschwinden. Beide Ableitungen müssen also gleich Null werden. Ist das Extremum dann ein Minimum, Maximum oder ein Sattelpunkt?

EDIT: Punkt 3 siehe: http://www.onlinemathe.de/forum/Bestimme...ne-im-Punkt-xyz
dharma Auf diesen Beitrag antworten »

danke für deinen rat.
zu 3.). Den Link den du mir geschickt hast, habe ich ebenfalls zur Berechnung benutzt und bin auf besagtes Ergebnis gekommen.

Bei 2.) krieg ich es irg wie nicht hin 0=-4*(x-1)*y zu lösen :S
Bernhard1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von dharma
Bei 2.) krieg ich es irg wie nicht hin 0=-4*(x-1)*y zu lösen :S

Du musst die Variablen eliminieren. Löse die erste Gleichung nach x auf und setze das dann in die zweite Gleichung ein, oder umgekehrt.
 
 
dharma Auf diesen Beitrag antworten »

ich löse die erste Ableitung nach x auf und erhalte x=y². das setze ich in f'y ein.
-4*(y²-1)*y= -4y²+4+y³-y. Was mache ich dann ?
Bernhard1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von dharma
Was mache ich dann ?

Gleich Null setzen und dann y ausrechnen.
dharma Auf diesen Beitrag antworten »

Muss die ganze zeit grübeln. Polynomdivision? oder bin ich gänzlich auf dem Holzweg?
Bernhard1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von dharma
-4*(y²-1)*y

= 0. Ganz einfach. Du hast ursprünglich zwei Gleichungen für die zwei Unbekannten x und y.
Habe momentan leider wenig Zeit für ausführliche Erklärungen unglücklich . Schau vielleicht mal in der Wikipedia nach dem Gradienten und verwandten Artikeln wie Sattelpunkt.
dharma Auf diesen Beitrag antworten »

Nun ja. Habe also Polynomdivision und danach pq-Formel angewandt und habe für
y1= 4 und y2=1 rausbekommen...
Habe dann f(-2)=0; f(4)=0 und f(1)=0. Jeweils immer für y eingesetzt. Sind dass demnach die Punkte P1(0|-2), P2(0|4) und P3(0|1)?
Und wie muss ich dann vorgehen ?
Bernhard1 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo dharma,

ich gehe mal davon aus, dass Du aktuell den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr siehst.

Nochmal die aktuell zu lösende Gleichung:

-4*(y²-1)*y = 0

Dazu eine Frage: Wann ist ein Produkt gleich Null?
dharma Auf diesen Beitrag antworten »

Irgendwie macht das alles keinen Sinn. Ich mache Schluss für heute. Rechne bereits seit drei Stunden und kriege nichts richtiges bei raus. Ich wäre dir und jedem anderen dankbar, der sich hier nochmal melden würde und mir unter die Arme greifen könnte.
Bernhard1 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo dharma,

dein y2 ist schon mal richtig, aber wir können auch gerne morgen weiter machen. Ich rechne inzwischen die Tangentialebene nach.
dharma Auf diesen Beitrag antworten »

Du bist ein Engel. Ich danke dir vielmals!
Bernhard1 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Partielle Ableitung + Nullstelle + Tangentialebene
Zitat:
Original von dharma
Habe grade noch etwas weiter gerechnet bei 3.) und für z=4-5y+2x rausbekommen. Kann das richtig sein?

Nein. Deshalb ein neuer Erklärungsansatz:

1) Die Funktion wird Parametrisierung der Fläche genannt, weil ihre Bildmenge genau der vorgegebenen Fläche entspricht.

2) Ferner kann man diese Funktion partiell nach x und y ableiten und bekommt damit genau zwei linear unabhängige Tangentialvektoren.

3) Du hast bereits die beiden z-Komponenten der beiden Tangentialvektoren ausgerechnet: und

4) Berechne jetzt die restlichen Komponenten der beiden dreidimensionalen Tangentialvektoren (trivial, aber wichtig)

5) Setze dann bei beiden Tangentialvektoren x = 0 und y=1

6) Du bekommst dann zwei konkrete Tangentialvektoren ohne die Abhängigkeit von x, y und z und hast dann auch die Gleichung für die gesuchte Tangentialebene.
Bernhard1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von dharma
Du bist ein Engel.

Tanzen
dharma Auf diesen Beitrag antworten »

Meinst du bei 4.) erneut die Ableitung der jeweiligen Funktionen bilden oder wie soll ich dies verstehen?
Ansonsten hätte ich f''xx(x,y)=2 und f''yy(x,y)=-4*(x-1)
Bernhard1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zweite Ableitungen brauchen wir später.

Bei 4.) muss man sich überlegen, dass f die drei Komponenten hat. Jede einzelne Komponente ist eine Funktion von x und y und deswegen kann man auch und ausrechnen, was dann die beiden x-Komponenten der beiden Tangentialvektoren ergibt. Die y-Komponenten der beiden Tangentialvektoren berechnet man analog mit und

Vorsicht übrigens mit den Indizes! Physiker nennen das was hier so langsam auftaucht auch den Index-Puff. Also genau hinschauen und am Besten immer räumlich vorstellen, was man formal gerade hinschreibt.

Du kannst bei f übrigens entweder x oder y konstant halten und bekommst dann je zwei Linienscharen im R^3.
dharma Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst du mir den analogen Schritt mit einem simplen Beispiel vorrechnen, da Ich das nicht ganz verstehe Hilfe

Schade finde ich einfach nur, dass wir ein Skript von unserem Prof kriegen und Aufgaben dazu. Die Erklärungen zu den Aufgaben folgen leider immer nur nach Aufgabenabgabe, sodass ich gezwungen bin mir so etwas immer irgendwie selber einzutrichtern, was leider, wie du siehst, sehr oft nicht klappt.
Bernhard1 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo dharma,

Differentialgeometrie ist natürlich ein größerer "Brocken", den man nicht im Vorbeigehen lernt, sondern eher über einen längeren Zeitraum. Ich mache es deswegen etwas leichter und zeige Dir den Punkt 4:

Die gesuchten Tangentialvektoren nenne ich einfach mal und . Beide hängen vom Ort (x,y) ab. An jedem Punkt der Fläche z(x,y) gibt es also zwei linear unabhängigeTangentialvektoren mit der Eigenschaft, dass der eine in der xz-Ebene (y=const.) liegt und der andere in der yz-Ebene (x=const).

Es gilt:




und



Die beiden partiellen Ableitungen (die zusammen den, bzw. einen Gradienten bilden) hast Du oben bereits korrekt ausgerechnet. Du musst also nur noch die Funktionen einsetzen und (gemäß Aufgabenstellung) an der Stelle x=0 und y=1 auswerten. Die Gleichung für die gesuchte Tangentialebene lautet dann:



Das hochgestellte T steht für "transponiert" und erspart mir lediglich das Anschreiben von Spaltenvektoren.
MfG
dharma Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen vielen Dank, dass du dir so spät noch die zeit nimmst mir das hier zu erklären. Sobald ich zu hause bin rechne ich alles nochmal nach und schreibe hier dann das ergebnis rein.

Hätte dann noch die frage, ob meine Ausführungen bei 2.) bereits richtig wären oder fehlt da noch etwas?

Lg
Bernhard1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von dharma
Hätte dann noch die frage, ob meine Ausführungen bei 2.) bereits richtig wären oder fehlt da noch etwas?

Ich schreibe es nochmal sauber hin. Die Bedingung für ein Extremum bei einer Fläche in der Darstellung z(x,y) lautet:

und

Man sagt dazu: Der Gradient der Funktion z soll verschwinden. Das führt für die vorgegebene Funktion zu zwei Gleichungen für die zwei Unbekannten x und y:

und

Die erste Gleichung kann man durch 2 und die zweite durch vier dividieren. Man erhält dann:

und

Jetzt ersetzt man in der zweiten Gleichung das x durch y² und erhält als Bestimmungsgleichung von y die Gleichung:



Diese Gleichung besitzt offensichtlich drei Lösungen: y1 = 0, y2 = -1 und y3 = 1, wie man durch Einsetzen sofort nachprüfen kann.

Die vorgegebene Fläche hat also insgesamt drei Extremalstellen. Die Berechnung der x-Komponente dieser drei Punkte überlasse ich Dir. Verwende dazu die Gleichung

x = y².

Über die zweiten partiellen Ableitungen der Funktion z kann man die Art des Extremums bestimmen. Die genauen Formeln dazu muss ich auch erst nachsehen.
dharma Auf diesen Beitrag antworten »

2.) Du sagst : 4y(1-x) = 0; es ist aber doch -4y(1-x) oder lieg ich falsch? So ist doch zumindest die Ableitung. Und wie bist du auf die Punkte für y1,y2 und y3 gekommen. Du sprichst von Nachprüfen mit einsetzen aber mir stellt sich die Frage wie du auf die Punkte gestoßen bist.

Und zu 3.). In der Uni predigt unser Prof immer, dass wir eine Gleichung für die Tangentialebene aufstellen sollen, weshalb ich mit den Vektoren nicht so richtig weiß, ob es verlangt wird.
Bernhard1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von dharma
2.) Du sagst : 4y(1-x) = 0; es ist aber doch -4y(1-x) oder lieg ich falsch?

Hallo dharma,

die Frage hat mich ziemlich verwirrt, aber ich konnte dennoch vielleicht noch einen Tipp finden. Überlege Dir nochmal den eindimensionalen Fall: Wenn Du eine Extramalstelle einer normalen Funktion f(x) finden willst, wie bei der Kurvendiskussion in der Schule, so leitest Du die Funktion ab und setzt f'(x) = 0.

Bei einer Fläche verhält sich das Finden von Extremalstellen ganz ähnlich, nur dass man dort zwei Ableitungen bilden muss. Ferner müssen diese beiden Ableitungen gleichzeitig verschwinden.

Wenn man das nicht glaubt oder versteht, so kann man die Funktion auch zeichnen lassen:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=plo...+y+from+-5+to+5

-> Ein Minimum bei (0,0) und jeweils ein Sattelpunkt bei (1,-1) und (1,1).

Die Funktion ist symmetrisch zur x-Achse, da y nur im Quadrat vorkommt. Das Vorzeichen von y spielt also für den Funktionswert keine Rolle.

Für x=0 (also die y-Achse) reduziert sich die Funktion auf die Funktion 2y² und für y=0 (das ist die x-Achse) auf x², womit das Minimum bei (0,0) verständlich wird.
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