Relation von ggT

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TomG Auf diesen Beitrag antworten »
Relation von ggT
Meine Frage:
Das ist die Angabe:
auf den natürlichen Zahlen ist folgende Relation gegeben:

ggT(x,y) = x

Handelt es sich dabei um ein Äquivalenzrelation oder eine Ordnungsrelation.

und ich bin mir bei der Antisymmetrie nicht sicher und bei Transitivität häng ich total.
bzw. weiß ich auch nicht, ob bei den ersten beiden Punkten (reflexiv und Symmetrie) meine Ausführungen reichen.

Meine Ideen:
Um das festzustellen, muß ich folgende Punkte überprüfen:

Reflexiv:
ggT(x,x) = x => ist also gegeben

Symmetrisch:
ggT(x,y) = x = ggT(y,x) => ist also auch gegeben

Antisymmetrisch:
ggT(x,y) = x ggT(y,x) = y -> x = y => ist nicht der Fall

Transitiv:
ggT(x,y) = x ggT(y,z) = y ggT(x,z) = ?


ich wäre da über jegliche Hinweise sehr dankbar.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Relation von ggT
Es gilt


Falls nun , dann folgt:


andererseits


Da nun folgt .

Edit: Beispielsweise ist . Daraus folgt aber nicht sondern es ist . Es gehören also die Paare zur Relation, aber nicht. Offenbar ist es keine Äquivalenzrelation.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Relation von ggT
Zitat:
Original von TomG

Symmetrisch:
ggT(x,y) = x = ggT(y,x) => ist also auch gegeben

Antisymmetrisch:
ggT(x,y) = x ggT(y,x) = y -> x = y => ist nicht der Fall


Es ist übrigens genau umgekehrt: Die Relation ist nicht symmetrisch, aber antisymmetrisch.
TomG Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Relation von ggT
super danke. Ich bin irgendwie nicht auf die Idee gekommen, drei Elemente in den ggT zu schreiben. So schaut das dann total logisch aus.
lG Tom
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