Umkehrfunktion 2 Variablen

07.07.2014, 11:52	Paula11	Auf diesen Beitrag antworten »
Umkehrfunktion 2 Variablen Meine Frage: Bestimme die Umkehrabbildung zur Funktion: $\begin{eqnarray} \mathbb R ^2\Rightarrow \mathbb R ^2,(x,y) \Rightarrow (x+y^2,-y^{4}-2xy^2-x^2+y^2+x+y) \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Hallo ist es richtig, dass ich zur Bestimmung der Umkehrabbildung erstmal die Jacobi-Matrix erstellen muss?! (Bin da bei meiner Recherche drauf gestoßen ..) Lg Paula
07.07.2014, 13:01	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} f_1 \\ f_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x+y^2 \\ -(x+y^2)^2+x+y^2+y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} f_1 \\ -f_1^2+f_1+y \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Umstellen der 2.Komponente liefert $\begin{eqnarray} y=f_2-f_1+f_1^2 \end{eqnarray}$ Ersetze damit in der 1.Komponnte die Variable y und stelle danach die 1.Komponente nach x um. Dann bekommst du auch die Variable x als Funktion von f1 und f2.
07.07.2014, 15:06	Paula11	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke Ehos für die schnelle Antwort! Ich habe deinen Gedankengang mal weiter gedacht und erhalte: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} f_1 \\ f_2 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+y^2 \\ -y^{4}-2xy^2-x^2+y^2+x+y \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+y^2 \\ -(x+y^2)^2+x+y^2+y \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} f_{1} \\ f_{1} ^{2}+f_{1} +y \\ \end{pmatrix} <br /> <br /> y= f_{2}-f_{1}+f_{1} ^{2} <br /> x=-f_{1} ^{4}+2f_{1}^{3}-2f_{1}^2f_{2}-f_{1}^2+2f_{1} f_{2} - f_{2}^2+f_{1} <br /> <br /> \begin{pmatrix} -f_{1} ^{4}+2f_{1}^{3}-2f_{1}^2f_{2}-f_{1}^2+2f_{1} f_{2} - f_{2}^2+f_{1} + (f_{2}-f_{1}+f_{1}^2)^2 \\ -f_{1}^2+f_{1}+f_{2}-f_{1} +f_{1^2} \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} f_1 \\ f_2 \\ \end{pmatrix} <br /> <br /> \end{eqnarray}$ Nur wie bringt mich das denn nun weiter?! Paula
08.07.2014, 09:56	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Gegeben war die Vektorfunktion $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} f_1 \\ f_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_1+x_2^2\\-(x_1+x_2^2)^2+x_1+x_2^2+x_2\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Gesucht ist die Umkehrfunktion $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x_1(f_1,f_2) \\ x_2(f_1,f_2) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Im 1.Schritt schreibt man die 2.Komponente als $\begin{eqnarray} f_2=\underbrace{-(x_1+x_2^2)^2}_{-f_1^2}+\underbrace{x_1+x_2^2}_{f_1}+x_2 \end{eqnarray}$ Umstellen nach x2 liefert die 2.Komponente der gesuchten Umkehrfunktion $\begin{eqnarray} x_2=f_2-f_1+f_1^2 \end{eqnarray}$ ______________(Formel A) Damit ersetzen wir in der 1.Komponente der oben gegebenen Vektorfunktion die Variable x2, was ergibt $\begin{eqnarray} f_1=x_1+x_2^2=x_1+\underbrace{(f_2-f_1+f_1^2)^2}_{x_2^2} \end{eqnarray}$ Umstellen nach x1 liefert $\begin{eqnarray} x_1=f_1-(f_2-f_1+f_1^2)^2 \end{eqnarray}$ _________(Formel B) Die Formeln A und B sind die gewünschte Umkehrfunktion $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}f_1-(f_2-f_1+f_1^2)^2\\f_2-f_1+f_1^2\end{pmatrix} \end{eqnarray}$

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