Hintereinanderausführung von Bewegungen

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heinoJ63 Auf diesen Beitrag antworten »
Hintereinanderausführung von Bewegungen
Hallo, ich befinde mich gerade in der Prüfungsvorbereitung. Das aktuelle Thema ist für mich aber mittlerweile so lange her, dass ich gerade nicht mal einen Ansatz zur Lösung finde.

Folgende Aufgabe

Eine Bewegung (Phi) der euklidischen Ebene (R²) sei die Hintereinanderausführung von zunächst
einer Spiegelung an der y-Achse, dann einer Verschiebung um den Vektor (2 1)T und schließlich einer Drehung um den Koordinatenursprung um 45° in mathematisch positiver Richtung.

Beschreiben sie (Phi) analytisch in der Form (Phi(x y)T) = A (x y)T + b
Dabei soll A eine 2x2-Matrix und b ein Vektor aus dem (R²) sein.


Ich wäre erstmal für jeden Ansatz dankbar, da ich auch nach längerem Suchen in Netz und Büchern nichts dergleichen gefunden habe.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn man sich auf die Standardbasis bezieht, dann erhält man bei linearen Abbildungen die Abbildungsmatrix, indem man die Bilder von und als Spalten der Matrix nimmt.

Für die Spiegelung an der -Achse gilt: , daher besitzt sie die Abbildungsmatrix



Wie ist es denn bei der 45°-Drehung? Was ist das Bild von , was ist das Bild von ? Eine Zeichnung hilft.

Die Verschiebung ist keine lineare Abbildung im Sinne der linearen Algebra. Sie wird durch Addition eines konstanten Vektors an den Urbildvektor bewirkt.
heinoJ63 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab mal versucht mir das Ganze per GeoGebra zu veranschaulichen. Wenn man da den (1 0)T um 45° dreht kommt man bei (0,71 0,71)T raus, beim (0 1)T demzufolge bei (-0,71 0,71)T. (Wenn ich vorher nicht spiegle, ansonsten wäre das Bild von (1 0)T bei (-0,71 -0,71)

Wäre dein S jetzt mein A, sicher eher nicht, ich muß das ja am Ende Alles irgendwie verknüpfen, oder?

Aber die Verschiebung entspräche dem b, oder?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Die Verknüpfung kommt später. Erst einmal sind wir bei den einzelnen Abbildungen als eigenständigen Objekten.

Deine Bilder bei der Drehung stimmen. Unschön sind die gerundeten Dezimalbrüche. In der höheren nichtangewandten Mathematik sind die tabu.

Eines ist ja klar: Der um 45° gedrehte Vektor muß dieselbe - wie -Koordinate besitzen, also von der Gestalt sein. Auf der anderen Seite ändert eine Drehung die Länge nicht, auch der gedrehte Vektor muß also die Länge besitzen. Ein alter Grieche hilft dir dabei, exakt zu bestimmen.
heinoJ63 Auf diesen Beitrag antworten »

Also im Normalfall ohne feste Winkelangabe wäre es ja x' = x cos a - y sin a und y' = x sin a + y cos a

In meinem Fall also x' = 1*cos45° - 0*sin45° = cos45° und y' = 1*sin45° + 0*cos45° = sin45°

da cos45° = sin45° sollte das hinkommen, richtig?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Diesem entnehme ich, daß du die allgemeine Form einer Drehmatrix schon kennst. Ich war davon ausgegangen, das sei dir unbekannt. Aber immer noch fehlt mir die Größe von . Du hast jetzt gesagt: , was ja alles stimmt. Aber wie groß ist dieser Wert jetzt? Und sag bitte nicht: 0,71. Noch einmal: der alte Grieche hilft.
 
 
heinoJ63 Auf diesen Beitrag antworten »

Wurzel (2) / 2
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Genau. Und damit ist die Drehmatrix .

Jetzt betrachte die drei Abbildungen:



Hierbei ist und .

Du mußt diese jetzt verketten, also bilden und auf die gewünschte Form bringen.
heinoJ63 Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich hoffe, das ich jetzt richtig liege. Meine Gleichung hieße jetzt:

Phi(x y)T = 1/Wurzel 2* (x1=-1 x2=1, y1=1 y2=1) * (x y)T + (2 1)T


Hoffe du kannst das entwirren.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist falsch zusammengesetzt.



Das in einsetzen:



Das in einsetzen:



Und bringe das jetzt noch auf die Gestalt . Das ist oben nur noch ein kleiner Schritt.
heinoJ63 Auf diesen Beitrag antworten »

Also

1/Wurzel 2 * ( (x1=-1 x2=1, y1=1 y2=1) * (x y)T + (0 2)T) ?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß nicht, wie du auf das Ergebnis kommst, da du mir den Rechenweg vorenthältst. Ich kann nur sagen, daß es völlig falsch ist.
Liest du eigentlich meine Beiträge? Und beherzigst du meine Ratschläge?

Also muß ich auch den letzten Schritt noch vorführen. Für Matrizen gilt das Distributivgesetz.

heinoJ63 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, so hab ich das schon verstanden, hab aber bei D*S scheinbar die Reihenfolge vertauscht

D*S ist jetzt bei mir obere Zeile (-1 -1) untere Zeile (-1 1), das Ganze dann eben noch mal (1/Wurzel 2)

D*c ist (0 2)T mal (1/Wurzel 2)

Deswegen hatte ich das 1/Wurzel 2 ausgeklammert.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

stimmt. Für habe ich aber etwas anderes.
heinoJ63 Auf diesen Beitrag antworten »

Die obere Zeile von D war ja (1 -1) das multipliziere ich mit der 2 von von c, also (2+(-2))=(2-2)=0

Untere Zeile (1 1) * 1 =(1+1) = 2

oder nutze ich die falsche Operation?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Du mußt immer "Zeile mal Vektor" rechnen, ganz wie bei einem Skalarprodukt.
heinoJ63 Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, da war der Fehler.

Also obere Zeile ((1*2)+ (-1*1) = (2+(-1)) =1
untere Zeile ((1*2)+(1+1)) = (2+1) = 3
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Bis auf einen Schreibfehler stimmt es jetzt. Hast du ebenso falsch gerechnet? War das Ergebnis dafür also nur "zufällig richtig"?
Und den Wurzelvorfaktor natürlich noch mitnehmen.
heinoJ63 Auf diesen Beitrag antworten »

Da gehört natürlich ein * in die vorletzte Klammer.

Nein D*S war richtig gerechnet. Ich bin einfach nur unkonzentriert durch die Hitze. ;-)


Ich danke dir für deine kompetente Hilfe, vielleicht ist doch noch nicht Alles verloren.
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