Zeige, das eine Verteilungsfunktion aus einer gemischten Zufallsvariable besteht

07.07.2014, 19:46	0815student	Auf diesen Beitrag antworten »
Zeige, das eine Verteilungsfunktion aus einer gemischten Zufallsvariable besteht Meine Frage: Hi, wir sollen zeigen, dass F eine Verteilungsfunktion einer gemischten Zufallsvariable Z=X+Y ist mit X stetiger und Y diskreter Zufallsvariable, sowie die Dichte von X und Liste ihrer möglichen Werte bestimmen und die Wahrscheinlichkeiten für Y. $\begin{eqnarray} <br /> F=\begin{cases} \frac12 e^x & x < 0 \\ \frac34 +x & x \in [0,\frac18) \\ 1 & x >1/8 \end{cases}<br /> \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Der Nachweis, dass F eine Verteilungsfunktion ist ist mir klar und ich denke, X und Y erhalte ich einfach durch Ableitung von F abschnittsweise (also X = 1/2 exp(x) und Y entsprechend der Rest). Was mich etwas irritiert ist, dass in der Aufgabenstellung die Bestimmung der Dichte von X ein eigenständiger Teil ist, ist der Nachweis etwa doch etwas komplizierter als ich es mir vorgestellt habe?
07.07.2014, 21:45	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Steht da wirklich $\begin{eqnarray} Z=X+Y \end{eqnarray}$ (d.h. Summe zweier Zufallsgrößen), oder hast du dir das ausgedacht, weil von Mischung die Rede war? Die Faltung aus einer stetigen und eine diskreten Verteilungsfunktion (das wäre nämlich die Verteilungsfunktion der Summe) kann niemals dieses $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ ergeben.
07.07.2014, 23:09	0815student	Auf diesen Beitrag antworten »
Es steht definitiv in der Aufgabe Z=X+Y mit X stetig und Y diskret. Wo geht das denn kaputt, an der Unstetigkeitsstelle?
08.07.2014, 08:58	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja. Angenommen, es würde funktionieren, und $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ ist diskret verteilt mit den höchstens abzählbar vielen Werten $\begin{eqnarray} y_1,y_2,\ldots \end{eqnarray}$ . Dann folgt bei der Unstetigkeitsstelle 0 $\begin{eqnarray} \frac{1}{4} = F(0)-F(-0) = P(X+Y=0) = \sum_{k=1}^{\infty} P(X=-y_k)\cdot P(Y=y_k) \end{eqnarray}$ , und es ist klar, dass für mindestens ein $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ hier dann $\begin{eqnarray} P(X=-y_k)>0 \end{eqnarray}$ gelten muss. Das widerspricht aber der stetigen Verteiltheit von $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ .

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