beweis obere dreiecksmatrix

07.07.2014, 20:04

dudidude

beweis obere dreiecksmatrix

Meine Frage:
K ein Koerper $\begin{eqnarray*} A\in GL_n (K) \end{eqnarray*}$ eine obere dreiecksmatrix mit $\begin{eqnarray*} a_{11}...a_{mn}\neq0 \end{eqnarray*}$ zeige mit hilfe der definierenden eigenschaft und elementarer spaltentransformation dass $\begin{eqnarray*} det (A)=\prod\limits_{i=1}^n a_{ii} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich glaube die def.eigenschaft ist die multi.lin. aber wie soll ich das jetzt anwenden?

07.07.2014, 20:13

bijektion

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Was soll denn $\begin{eqnarray*} a_{11]}\cdot \dots \cdot a_{mn}\neq 0 \end{eqnarray*}$ bedeuten?
Welche definierenden Eigenschaften hat denn die $\begin{eqnarray*} \det \end{eqnarray*}$ ?

07.07.2014, 20:22

dudidude

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Das beudetet dass das alle eintraege unter der diagonalen nicht einschliesslich mit ungleich null sind

Ja die definierende eigenschaft ist doch det ist multilinear

07.07.2014, 20:28

bijektion

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Das ist nicht unbedingt klar mit der Bezeichnung smile

Das sind aber nicht alle Eigenschaften: 1) Linear in jeder Zeile 2) Falls $\begin{eqnarray*} rang(A)<n \end{eqnarray*}$ , so ist $\begin{eqnarray*} \det A=0 \end{eqnarray*}$ 3) $\begin{eqnarray*} \det E_n =1 \end{eqnarray*}$ .

07.07.2014, 20:31

dudidude

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Und wie kann ich das verbinden...irgendwie rang (A)=n detA ungleich null

07.07.2014, 22:49

voodoo666

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Zitat:

Original von dudidude
Das beudetet dass das alle eintraege unter der diagonalen nicht einschliesslich mit ungleich null sind

Ich verstehe leider kein Wort.
Ich vermute mal dass du zu sagen versucht, dass es eine obere Dreiecksmatrix ist, bei der die Diagonalelemente ungleich Null sind?

In diesem Fall kannst du dir einmal überlegen, ob und wie du Matrix in TNF überführen kannst. Und welche Auswirkung diese "Transformation" auf die Determinante hat.

Grüße

07.07.2014, 23:55

dudidude

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Hallo

Ja genauso meinte ich es ausdruecken. Was ist TNF?

08.07.2014, 16:13

voodoo666

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Zitat:

Original von dudidude
Hallo smile

Ja genauso meinte ich es ausdruecken. Was ist TNF?

Die Treppennormalform. Oft auch Treppenstufenform genannt. Ich weiss nicht genau ob es dafür einen allgemeinen Namen gibt! Weisst du was gemeint ist?

08.07.2014, 18:35

dudidude

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ja Zeilenstufenform, ist doch automatisch wenn das ne obere dreiecksmatrix ist oder?

$\begin{eqnarray*} A= \begin{pmatrix} a_{11} &....... & a_{1n} \\ 0& a_{22}&... a_{2n}\\ 0 &....0& a_{nm} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

dann ist die doch schon in ZSF/TNF

08.07.2014, 19:12

dudidude

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oh war quatsch sorry ,aber wie krieg ich jetzt stufen darwein durch vertauschen der spalten oder?

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