JNF bestimmen

08.07.2014, 13:55

voodoo666

JNF bestimmen

Bereite mich gerade auf mein Modulprüfung vor. Bis dato hatte ich mit dem schnellen berechnen der JNF keine Probleme, diese Aufgabe bereitet mir jedoch Kopfzerbrechen.

[attach]34819[/attach]

Es geht dabei lediglich um Aufgabe d, den Rest konnte ich einwandfrei lösen.
Die Matrix ist hermitesch, es gilt also D=D^H
Sie ist positiv definit. Da Hermitesch, sind also alle Eigenwerte reell und größer null.
Und sie ist unitär, also die Spalten von D bilden eine ONB.

Ich komme einfach nicht darauf, wie ich so auf die EW schliessen soll?
Bitte um Ideen!

08.07.2014, 19:44

URL

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RE: JNF bestimmen
Betrachte $\begin{align*} \|Dv\|^2 \end{align*}$ für einen Eigenvektor v von D.

09.07.2014, 21:50

voodoo666

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RE: JNF bestimmen

Zitat:

Original von URL
Betrachte $\begin{align*} \|Dv\|^2 \end{align*}$ für einen Eigenvektor v von D.

Hiho, danke für die Antwort, habe es mittlerweile hinbekommen. Allerdings auf einem anderen Weg als du! Wie funktioniert deiner?

Meine Argumentation lautet wie folgt:
D ist unitär => $\begin{eqnarray*} D * D^{H} = I_{4} \end{eqnarray*}$
D ist hermitesch => $\begin{eqnarray*} D = D^{H} \end{eqnarray*}$

=> $\begin{eqnarray*} D^{2} = I_{4} \end{eqnarray*}$

=> D ist eine Diagonalmatrix und für alle Diagonaleinträge $\begin{eqnarray*} a_{i,i} \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} a_{i,i}^{2} = 1 \end{eqnarray*}$
Für die Diagonaleinträge kommt also nur 1 und -1 infrage.
Da D positiv definit ist und hermitesch, sind insbesondere alle EW > 0.
=> $\begin{eqnarray*} D = I_{4} \end{eqnarray*}$

Passt das?

09.07.2014, 22:00

URL

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RE: JNF bestimmen
Wieso folgt aus $\begin{eqnarray*} D^{2} = I_{4} \end{eqnarray*}$ , dass D eine Diagonalmatrix ist?

Schreibe $\begin{eqnarray*} \|Dv\|^2 \end{eqnarray*}$ mit Hilfe des Skalarproduktes und nutze die Eigenschaften von D, die du auch benutzt hast.

10.07.2014, 09:35

voodoo666

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RE: JNF bestimmen

Zitat:

Original von URL
Wieso folgt aus $\begin{eqnarray*} D^{2} = I_{4} \end{eqnarray*}$ , dass D eine Diagonalmatrix ist?

Schreibe $\begin{eqnarray*} \|Dv\|^2 \end{eqnarray*}$ mit Hilfe des Skalarproduktes und nutze die Eigenschaften von D, die du auch benutzt hast.

Alles klar. Nun habe ich also gezeigt dass es lediglich den EW 1 gibt. Dieser hat algebraische Vielfachheit 4. Wie kann ich nun auf den Eigenraum schliessen?
Grüße

10.07.2014, 10:51

RavenOnJ

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RE: JNF bestimmen
Dass $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ eine Diagonalmatrix ist, folgt doch schon aus der Hermitizität und der Tatsache, dass unter der Hauptdiagonalen nur Nullen stehen. Damit können auch über der Hauptdiagonalen nur Nullen stehen. Außerdem folgt, dass die Werte auf der Hauptdiagonalen reell sind. Aus der positiven Definitheit und Unitarität folgt, dass es die Einheitsmatrix sein muss.

10.07.2014, 13:35

voodoo666

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RE: JNF bestimmen

Zitat:

Original von RavenOnJ
Dass $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ eine Diagonalmatrix ist, folgt doch schon aus der Hermitizität und der Tatsache, dass unter der Hauptdiagonalen nur Nullen stehen.

Wieso? $\begin{eqnarray*} \begin{bmatrix} 1 & i\\ -i& 1 \end{bmatrix} \end{eqnarray*}$
ist m.M.n. hermitesch und keine Diagonalmatrix.
Die Nullen unter der Diagonalen in der Aufgabenstellung sind in JNF, die dargestellte Matrix hat nichts mit der Matrix D zu tun. Sonst würde unten wohl stehen, D = [] und nicht D: []

10.07.2014, 18:07

RavenOnJ

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RE: JNF bestimmen
Nun, dann habe ich den Aufschrieb der Aufgabe missverstanden. Ich nahm an, die Matrix ist eine obere Dreiecksmatrix. So, wie die Aufgabe gestellt ist, ist das auch so zu verstehen. Dass in der üblichen JNF die Matrix eine obere Dreiecksmatrix ist, ist trivial, also keiner zusätzlichen grafischen Erläuterung wert.

Natürlich folgt i.A. aus der Hermitizität nicht, dass die Matrix diagonal ist.

10.07.2014, 18:16

RavenOnJ

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RE: JNF bestimmen

Zitat:

Original von voodoo666

Zitat:

Original von RavenOnJ
Dass $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ eine Diagonalmatrix ist, folgt doch schon aus der Hermitizität und der Tatsache, dass unter der Hauptdiagonalen nur Nullen stehen.

Wieso? $\begin{eqnarray*} \begin{bmatrix} 1 & i\\ -i& 1 \end{bmatrix} \end{eqnarray*}$
ist m.M.n. hermitesch und keine Diagonalmatrix.

Im Übrigen kannst du doch schon aus meiner Erklärung sehen, dass ich die Aufgabe missverstanden habe. Du brauchst also nicht noch ein Beispiel für eine hermitische, nicht-diagonale Matrix bringen, da klar sein sollte, was ich meinte.

10.07.2014, 18:54

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RE: JNF bestimmen
D ist diagonalisierbar und ihr einziger EW ist 1.

10.07.2014, 23:51

voodoo666

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RE: JNF bestimmen

Zitat:

Original von RavenOnJ

Zitat:

Original von voodoo666

Zitat:

Original von RavenOnJ
Dass $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ eine Diagonalmatrix ist, folgt doch schon aus der Hermitizität und der Tatsache, dass unter der Hauptdiagonalen nur Nullen stehen.

Wieso? $\begin{eqnarray*} \begin{bmatrix} 1 & i\\ -i& 1 \end{bmatrix} \end{eqnarray*}$
ist m.M.n. hermitesch und keine Diagonalmatrix.

War mir nicht sicher, ob ich dich nicht selbst missverstanden hatte. War nicht böse gemeint Augenzwinkern

Danke euch beiden für die Hilfe.
Gruß

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