Fläche zweiter Ordnung klassifizieren

08.07.2014, 16:30	michasza	Auf diesen Beitrag antworten »
Fläche zweiter Ordnung klassifizieren Meine Frage: Hallo, ich soll die quadratische Form $\begin{eqnarray} Q(x) := 3x_1^2 - 4x_1x_3 - x_2^2 \end{eqnarray}$ mit Q(x) = 1 klassifizieren, also welche Fläche zweiter Ordnung damit dargestellt wird. Ich habe angefangen eine symmetrische Matrix A zu finden, die: $\begin{eqnarray} Q(x) = x^T A x \end{eqnarray}$ erfüllt: $\begin{eqnarray} A = \begin{pmatrix} 3 & 0 & -2 \\ 0 & -1 & 0 \\ -2 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Dann habe ich die Eigenwerte dazu ausgerechnet: $\begin{eqnarray} \lambda_{1,2} = -1 , \lambda_3 =4 \end{eqnarray}$ Daraus ist schon mal zu schließen, dass die symmetrische Matrix indefinit ist. Ok... Mfg Meine Ideen: Was muss ich jetzt machen? Soweit ich weiß muss ich doch jetzt eine unitäre Matrix S finden ( aus den Eigenvektoren), die $\begin{eqnarray} S^T A S = diag(\lambda_{1},\lambda_{2},\lambda_{3}) \end{eqnarray}$ erfüllt oder? Nun frage ich mich aber, wie ich nun diese Quadratische Gleichung letztendlich in die Normalform bringe, weil das ja das Ziel ist... Stimmt das, dass ich nun $\begin{eqnarray} S A + d \end{eqnarray}$ also eine Bewegung mache, mit einem so gewähltem d, dass die gemischten Glieder verschwinden? Ich weiß es leider nicht und brauche hier Eure hilfe. Korrektur aus zweitem Beitrag übernommen, zweiten Beitrag gelöscht, damit Antwortzähler auf Null steht. Steffen
09.07.2014, 09:31	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie man Flächen zweiter Ordnung qualifiziert, findest du z.B. im "Taschenbuch der Mathematik" von Bronstein/Semendjajew im Kapitel 2.6.6.2. "Analytische Geometrie des Raumes", Unterkapitel "Flächen zweiter Ordnung". Dort sind alle Fälle tabellarisch aufgeführt (über 10 Stück). Hinweis: Zur Klassifizierung musst du die Fläche nicht auf Normalform bringen.

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