Berechnen der Wahrscheinlichkeit bei einem Kartenspiel ohne Zurücklegen

09.07.2014, 13:12

playerb0y

Berechnen der Wahrscheinlichkeit bei einem Kartenspiel ohne Zurücklegen

Hallo,

ich habe eine Frage zu einer Aufgabe, es geht dabei um Wahrscheinlichkeiten.
Mir ist die Herangehensweise nicht ganz klar.

Die Aufgabenstellung lautet wie folgt:

Ein Kartenspiel mit 32 Karten wird durchmischt und an je drei Spieler werden 10 Karten ausgeteilt. Die übrigen 2 Karten bilden den "Stock" (also den Rest).
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein Spieler einen Kreuz-Buben, mindestens zwei weitere Buben. sowie mindestens drei Asse ausgeteilt kriegt.

Leider konnte ich zu der Aufgabe keine Lösung finden, daher habe ich keine Möglichkeit mein Ergebnis zu überprüfen.

Kennt ihr weitere Aufgaben nach dem Muster (Austeilen von Karten ohne Zurücklegen), die ich mir anschauen könnte?

Grüße

10.07.2014, 10:45

Stefan03

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Hi,

ich nenne dir mal zwei Begriffe, vielleicht helfen die dir weiter.

Binomialkoeffizient
Hypergemoetrische Verteilung

10.07.2014, 15:43

playerb0y

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Okay, also ich habe jetzt mal folgendes gemacht.
Ich habe erst einmal versucht, das Problem zu zerlegen.

Dabei ist folgendes rausgekommen:

$\begin{eqnarray*} P(A) = \frac{\binom{4}{3}\binom{1}{1}\binom{3}{2}\binom{24}{6}}{\binom{32}{10}} \end{eqnarray*}$

Also "Teilmengen" gebildet, mit den jeweiligen Möglichkeiten (für jedes einzelne Ereignis).

Ich weiß nicht, ob das hinhaut.

Danke.

Grüße

10.07.2014, 16:39

Stefan03

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Hi,

schaut schon "verwertbar" aus.

Im Nenner sollten ja "normal" alle Möglichkeiten stehen, die 32 Karten in 3 10er-Stapel auf die 3 Spieler zu verteilen. Da sehe ich bis jetzt nur einen Spieler.

Und im Zähler solltest du wohl auch die restlichen beiden Spieler beachten, da sehe ich auch nur einen Spieler.

Anmerkung: Es könnte sein, dass sich die Spieler 2 und 3 jeweils aus den Zähler und Nenner kürzen, aber da bin ich mir nicht sicher.

Und bis jetzt hast du es für den Fall aufschrieben, dass ein Spieler GENAU 3 Ass, den Kreuz-Buben und GENAU 2 weitere Unter erhält. Da steht aber mindestens, d.h. du musst zusätzlich noch mehr Fälle betrachten.

10.07.2014, 17:02

HAL 9000

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Zitat:

Original von Stefan03
Im Nenner sollten ja "normal" alle Möglichkeiten stehen, die 32 Karten in 3 10er-Stapel auf die 3 Spieler zu verteilen. Da sehe ich bis jetzt nur einen Spieler.

Nun, zumindest das ist Ok: Man kann ja zunächst mal die Wkt berechnen, dass ein konkreter Spieler das genannte Blatt bekommt. Am Ende multipliziert man die erhaltenen Wkt mit 3 und hat dann die Wkt, dass irgendeiner der drei dieses Blatt bekommt - denn selbstredend sind diese drei Ereignisse paarweise disjunkt, denn es können ja nicht mehrere zugleich den Kreuz-Buben haben, vom "Rest" ganz zu schweigen. Augenzwinkern

10.07.2014, 17:22

playerb0y

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Danke für eure Antworten.

Ich hatte mir bereits gedacht, dass sich meine Lösung, auf einen Spieler bezieht und nicht "mindestens" ein Spieler.
Ich bin mir nicht sicher, ob ich mein Ergebnis mit 3 multiplizieren darf.
Muss man hier nicht diese Siebformel anwenden?

Grüße

10.07.2014, 18:08

HAL 9000

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Ja, wende ruhig die Siebformel an. Und das hier

Zitat:

Original von HAL 9000
denn selbstredend sind diese drei Ereignisse paarweise disjunkt, denn es können ja nicht mehrere zugleich den Kreuz-Buben haben

hab ich offenbar für die Katz geschrieben. Ich muss mir langsam mal angewöhnen, nicht zuviel in einem Beitrag zu schreiben: Bei vielen (so wie dir) reicht die Konzentration anscheinend nur für ein, zwei Sätze - der Rest wird schlicht überlesen. unglücklich

10.07.2014, 18:24

playerb0y

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Sorry.
Falls ich die Seifenformel tatsächlich verwende, müsste das gleiche rauskommen oder sehe ich das falsch?
Vielleicht liegt auch ein Verständnisfehler meinerseits vor, sonst würde ich nicht fragen.
Ist mein bisheriger Rechenweg überhaupt sinnvoll?

10.07.2014, 18:36

HAL 9000

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Meine Anmerkungen waren kein Ersatz, sondern nur eine Ergänzung der Ausführungen von Stefan03 - insbesondere seinen letzten Abschnitt

Zitat:

Original von Stefan03
Und bis jetzt hast du es für den Fall aufschrieben, dass ein Spieler GENAU 3 Ass, den Kreuz-Buben und GENAU 2 weitere Unter erhält. Da steht aber mindestens, d.h. du musst zusätzlich noch mehr Fälle betrachten.

solltest du nochmal genau durchdenken. Außerdem sollte da im Zähler nicht $\begin{align*} \binom{24}{6} \end{align*}$ , sondern $\begin{align*} \binom{24}{4} \end{align*}$ stehen.

10.07.2014, 18:56

playerb0y

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Also meine bisherige Formel lautet (für einen bestimmten Spieler):

$\begin{eqnarray*} P(A) = \frac{\binom{4}{3}\binom{1}{1}\binom{3}{2}\binom{24}{4}}{\binom{32}{10}} \end{eqnarray*}$

und da es den Kreuz-Buben nur einmal gibt sind - wie bereits erwähnt wurde - die Ereignisse paarweise disjunkt.

Das heißt mein endgültiges Ergebnis lautet:

$\begin{eqnarray*} P(A) = 3* \frac{\binom{4}{3}\binom{1}{1}\binom{3}{2}\binom{24}{4}}{\binom{32}{10}} \end{eqnarray*}$

10.07.2014, 19:04

HAL 9000

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wieder nicht richtig gelesen...
Ja, das endgültige Ergebnis für

Zitat:

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein Spieler einen Kreuz-Buben, genau zwei weitere Buben. sowie genau drei Asse ausgeteilt kriegt.

aber nicht für deine Aufgabe. unglücklich

10.07.2014, 19:23

playerb0y

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An welcher Stelle liegt der Fehler?
Ein anderer Lösungsansatz kommt mir nicht in den Sinn.
Man möchte ja das Ereignis überprüfen, dass mindestens ein Spieler einen Kreuz-Buben, mindestens zwei weitere Buben, sowie mindestens drei Asse ausgeteilt kriegt.
Zuerst habe ich mir den konkreten Einzelfalll überlegt und dann versucht es zu verallgemeinern.

10.07.2014, 19:51

HAL 9000

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Ich mag noch verstehen, dass du nicht von selbst drauf kommst, wie man die Sache mit dem "mindestens" statt "genau" berechnet. Aber dass du dich sogar trotz dreimaliger deutlicher Hinweise (1x Stefan03, 2x ich) weigerst anzuerkennen, dass man das berücksichtigen muss, ist schon ziemlich entäuschend. unglücklich

-----------------------

Du hast den Fall berechnet, dass unter den 10 Karten der Kreuz-Bube ist, genau 2 weitere Buben und genau 3 Asse.

Es fehlen dann noch drei weitere Fälle

- Kreuz-Bube, genau 3 weitere Buben und genau 3 Asse
- Kreuz-Bube, genau 2 weitere Buben und genau 4 Asse
- Kreuz-Bube, genau 3 weitere Buben und genau 4 Asse

um die in der Aufgabenstellung genannten "mindestens"-Bedingungen zu erfüllen.

10.07.2014, 20:38

playerb0y

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Ach jetzt, das klingt einleuchtend.

Man muss jeden Fall untersuchen und anschließend die "Gesamtwahrscheinlichkeit" errechnen, also durch Addition der Teilergebnisse.

Vielen Dank.

Ich werde jetzt noch die weiteren Fälle untersuchen und anschließend mein Ergebnis posten.

11.07.2014, 00:05

playerb0y

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Ich habe folgendes rausbekommen.

$\begin{eqnarray*} P(A1) = \frac{\binom{4}{3}\binom{1}{1}\binom{3}{2}\binom{24}{4}}{\binom{32}{10}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(A2) = \frac{\binom{4}{3}\binom{1}{1}\binom{3}{3}\binom{24}{3}}{\binom{32}{10}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(A3) = \frac{\binom{4}{4}\binom{1}{1}\binom{3}{2}\binom{24}{3}}{\binom{32}{10}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(A4) = \frac{\binom{4}{4}\binom{1}{1}\binom{3}{3}\binom{24}{2}}{\binom{32}{10}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(A) = 3* (P(A1) + P(A2) + P(A3) + P(A4)) \end{eqnarray*}$

So, ich hoffe mal das passt smile

.

Danke für eure Hilfe!

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