Mittelwertsatz der Differentialrechnung |
| 09.07.2014, 13:34 | Schattenklinge | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Mittelwertsatz der Differentialrechnung Zeigen Sie mit Hilfe des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung: F¨ur alle x,y ∈R mit x > y > 0 gilt Ich habe keine Ahnung was hier zu tun ist, kann mir jemand helfen? |
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| 09.07.2014, 13:52 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Mittelwertsatz der Differentialrechnung Wende auf die Funktion f(x) = ln(x) den Mittelwertsatz der Differentialrechnung an und folgere daraus die zu zeigenden Ungleichungen. |
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| 14.07.2014, 10:12 | Schattenklinge | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also muss ich: ln(x/y) ableiten oder wie? f(b)-f(a) / b-a muss ich rechnen, aber wie wende ich das hier an? |
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| 14.07.2014, 10:18 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Was habe ich denn geschrieben, welche Funktion du nehmen sollst? Habe ich etwa f(x) = ln(x/y) geschrieben?
Schreibe doch mal die Aussage des Mittelwertsatzes hin. Sonst wird ja nie klar, was hier wo einzusetzen ist. |
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| 14.07.2014, 13:17 | Schattenklinge | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Gut, da tauchen schonmal eine Frage für mich auf: Warum f(x) = ln(x)? Mittelwertsatz: f: [a,b] -> Reelle Zahlen stetig auf [a,b] und diffbar auf [a,b], dann gibt es ein c in dem Intervall [a,b], sodass die Ableitung f'(c) = f(b) - f(a) / b - a genauer genommen ist es dann doch: mein eingeschränktes intervall: [(x-y/x), (x-y/y)]. Dann soll also mein ln(x/y) in dem Intervall liegen. |
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| 14.07.2014, 13:20 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nun mal langsam. Du folgerst einfach zu schnell. Nun wende mal den Satz (nach Einbau fehlender Klammern) auf f(x) = ln(x) an. |
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| 14.07.2014, 13:42 | Schattenklinge | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ln(x), Intervall [1, x], dann gilt (ln(x)-ln(0)) / x - 0 = f'(c) ln(x) / x = f'(c) oder wie meinst du das? |
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| 14.07.2014, 13:49 | Schattenklinge | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
sorry, (ln(x)-ln(1)) / (x-1) = f'(c) dann ln(x) - ln(1) / x-1 = f'(c) und f'(c) = 1/x also ln(x)-ln(1) / x-1 = 1/x ln(x)-ln(1) = ((x-1)/x) |
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| 14.07.2014, 13:57 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Zum einen ist dieses:
falsch. Zum anderen: warum bist du nicht bei dem Intervall [a; b] geblieben? |
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| 14.07.2014, 14:03 | Schattenklinge | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Okay, dann nochmal: f(x) = ln(x) Intervall [a,b], Dann: f'(c) = f(b) - f(a) / b - a Also: f'(c) = ln(b) - ln(a) / b - a Dabei ist die Ableitung von ln(x) = 1/x also f'(c) dann wohl 1/c ? |
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| 14.07.2014, 14:06 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Genau. Und wie gesagt: Klammern setzen! Oder noch besser: Latex verwenden. 
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| 14.07.2014, 14:09 | Schattenklinge | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Und wie geht es nun weiter? Ich hab jetzt das angewendet aber das ist ja noch kein Beweis... f'(c) = 1/c und nun? Ich weiß jetzt auch warum man ln(x) betrachtet, weil vermutlich die Rechnenregeln ln(x/y) = ln(x)-ln(y) sind. Und dann braucht man nur ln(x) betrachten... Aber wie geht es nun mit dem Beweis weiter? |
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| 14.07.2014, 14:15 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wir haben nun mit a < c < b. Offensichtlich ist also . Setze das ein und stelle um.
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| 14.07.2014, 14:23 | Schattenklinge | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wo soll ich das denn einsetzen... Oh weia... Ich muss das unbedingt noch üben mit dem Mittelwertsatz... |
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| 14.07.2014, 14:27 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nun ja, in die Gleichung halt. Wir haben ja sonst nichts anderes: Jetzt nutze ln(b) - ln(a) = ln(b/a) und multipliziere mit (b-a). |
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| 14.07.2014, 14:36 | Schattenklinge | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ah! Super! Da kommt dann: ln(b/a) = (b-a)/c > 1/b raus Was kann ich daraus folgern? Kann ich (b-a) / b < ln(x/y) folgern? |
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| 14.07.2014, 14:45 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich weiß ja nicht, was du gerechnet hast. Ich erhalte: Jetzt setze noch b=x und a=y und du erhältst den ersten Teil der zu beweisenden Ungleichung. 
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| 14.07.2014, 14:51 | Schattenklinge | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Aha! Jetzt hab ich verstanden, worum es hier geht...! Vielen Dank, ich habe die andere Richtung auch hinbekommen und jetzt auch verstanden, super! Vielen vielen lieben Dank! |
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