Eigenvektoren eines DGL Systems ablesen

09.07.2014, 14:28

B234

Eigenvektoren eines DGL Systems ablesen

$\begin{eqnarray*} x'(t)=\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}*x(t) \end{eqnarray*}$

Ich habe als Lösung von diesem DGL System erster Ordnung folgende Allgemeine Lösung bekommen.

$\begin{eqnarray*} y=C_{1}*e^{3x}+C_{2}*e^{-2x} \end{eqnarray*}$

Hierraus müsste man jetzt die Eigenvektoren ablesen können, aber mir ist nicht mehr klar wie das funktioniert.

Normal habe ich DGL Systeme immer mit dem Einsetzungsverfahren gelöst, aber das geht hier ja schlecht da alles von $\begin{eqnarray*} x(t) \end{eqnarray*}$ abhängt.

Meine Idee war erst die errechneten Nullstellen/Eigenwerte des Determinantenpolynoms mit der Matrix zu Multiplizieren, aber das haut nicht hin.

10.07.2014, 07:16

klarsoweit

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RE: Eigenvektoren eines DGL Systems ablesen
Aus der Lösung kannst du direkt die Eigenwerte ablesen. Der Schritt zu den jeweiligen Eigenvektoren ist dann kein Problem mehr.

10.07.2014, 12:37

B234

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RE: Eigenvektoren eines DGL Systems ablesen

Zitat:

Original von klarsoweit
Aus der Lösung kannst du direkt die Eigenwerte ablesen. Der Schritt zu den jeweiligen Eigenvektoren ist dann kein Problem mehr.

Genau das ist mein "Problem". Wie ließt man die jeweiligen Eigenvektoren denn ab ? Ich habe es heute in der Klausur zwar nicht gebraucht aber es würde mich dennoch interessieren.

10.07.2014, 13:04

klarsoweit

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RE: Eigenvektoren eines DGL Systems ablesen
Das ist doch fast schon eine Prüfungsfrage:

Ist lambda ein Eigenwert der Matrix A, dann ergeben sich die Eigenvektoren aus dem Kern der Matrix A - lambda * E .

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