Prüfen, ob Körpererweiterung galoissch

09.07.2014, 19:08

Gnus

Prüfen, ob Körpererweiterung galoissch

Hallo!

Ich möchte gerne folgende Aufgabe lösen:

Sei $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ Primzahl, $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} \mathbb F_p \end{eqnarray*}$ transzendent.
Prüfen Sie, ob $\begin{eqnarray*} \mathbb F_p(x^2) \subset \mathbb F_p(x) \end{eqnarray*}$ endlich, normal, seperabel ist.

Mein Ansatz:

Wir betrachten $\begin{eqnarray*} f=t^p-x^p \end{eqnarray*}$ . Dies ist ein Polynom aus $\begin{eqnarray*} \mathbb F_p(x^2)[t] \end{eqnarray*}$ , welches normiert ist und $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ als Nullstelle hat.
Da $\begin{eqnarray*} \mathbb F_p \end{eqnarray*}$ Unterkörper von $\begin{eqnarray*} \mathbb F_p(x^2) \end{eqnarray*}$ ist, müsste doch $\begin{eqnarray*} Char(\mathbb F_p(x^2))=p \end{eqnarray*}$ sein, da beide Körper das gleiche Einselement besitzen.
Dann wäre $\begin{eqnarray*} f=t^p-x^p=(t-x)^p \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ somit $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ -fache Nullstelle von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} x, x^2,...x^{p-1} \notin \mathbb F_p(x^2) \end{eqnarray*}$ , kann $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} \mathbb F_p(x^2) \end{eqnarray*}$ nicht zerfallen und ist somit irreduzibel.
Also wäre $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ das Minimalpolynom von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und die Körpererweiterung vom Grad $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ , also insebesondere endlich.

Da $\begin{eqnarray*} \mathbb F_p(x) \end{eqnarray*}$ ein Zerfällungskörper von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist, ist die Körpererweiterung normal.

Nun habe ich zwei Fragen:

1) Ist das soweit korrekt? Mich verwirrt, dass ich die Transzendenz von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ noch nicht gebraucht habe.
2) Wie kann ich testen, ob die Körpererweiterung seperabel ist? $\begin{eqnarray*} \mathbb F_p(x^2) \end{eqnarray*}$ hat ja leider nicht Charakteristik 0.

MfG
Gnus

09.07.2014, 19:32

tmo

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Ist die 2 im Exponent wirklich eine 2? Weil du redest danach vom Polynom $\begin{eqnarray*} t^p-x^p \end{eqnarray*}$ , was mich etwas verwundert.

Dann ist die Erweiterung für ungerade p mehr oder weniger trivialerweise galoissch und für p = 2 nicht galoissch.

09.07.2014, 20:04

Gnus

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Hallo tmo!

Das habe ich in der Vorschau wohl überlesen.

Es muss $\begin{eqnarray*} \mathbb F_p(x^p) \subset \mathbb F_p(x) \end{eqnarray*}$ heissen und dementsprechend immer $\begin{eqnarray*} \mathbb F_p(x^p) \end{eqnarray*}$ .

Tut mir Leid!

09.07.2014, 20:35

tmo

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Ok, dachte ich mir.

Aber nun ist doch alles klar. Du hast doch selbst schon gesehen, dass das Minimalpolynom eine p-fache Nullstelle hat. Also ist die Erweiterung nicht separabel.

09.07.2014, 21:13

Gnus

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Zitat:

Aber nun ist doch alles klar. Du hast doch selbst schon gesehen, dass das Minimalpolynom eine p-fache Nullstelle hat. Also ist die Erweiterung nicht separabel.

Wie dumm von mir. verwirrt

Also:
$\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nicht seperabel, also $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ nicht seperabel, also die Körpererweiterung nicht seperabel.
Sowei alles gut.

Waren meine Argumente davor okay?

Nun würde ich nur noch gerne das Rätsel gelüftet haben, an welcher Stelle ich die Transzendenz von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ benötige...

MfG

09.07.2014, 21:25

Louis1991

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Zitat:

Original von Gnus
Nun würde ich nur noch gerne das Rätsel gelüftet haben, an welcher Stelle ich die Transzendenz von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ benötige...

Was heißt "du benötigst Transzendenz"? Der Aufgabensteller muss eine transzendente Erweiterung eines Körpers F_p zu Grunde legen, wenn er ein Beispiel für eine nicht separable Körpererweiterung geben will. Die Körper F_p sind nämlich perfekt, und solche mit Charakteristik Null sowieso. Wenn x nicht transzendent wäre, dann sähe das Minimalpolynom halt nicht so aus wie oben von dir beschrieben.

09.07.2014, 21:37

Gnus

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Ahhhh,
jetzt hats Klick gemacht. Ich danke euch beiden!

MfG Wink

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