Basisvektoren

09.07.2014, 18:20	Nicker7	Auf diesen Beitrag antworten »
Basisvektoren Meine Frage: Hallo ich würde gerne einen Ansatz zu dieser Aufgabe bei der ich absolut keine Ahnung habe was ich tun soll haben. Hoffentlich kann mir da einer weiter helfen. Eine Lineare Abbildung L:V^{3}->V^{3} sei folgendermaßen durch ihre Wirkung auf die Basisvektoren e1,e2,e3 eines kartesischen KS gegeben: L(e1)=2e1+e2 L(e2)=0,5(e2+e3) L(e3)=2e1-e3 Bestimmen Sie den Rang von L Geben sie für L die Abbildungsmatrix bezüglich der gegebenen Basis an Wie lautet für den Vektor a=e1+e2+e3 der Koordinatenvektor des Bildes L(a) Meine Ideen: Also zu Rang weiß ich nicht genau wie das gemeint ist. Falls gemeint ist dass es 3 Basen sind und die Matrix dementsprechend 3 Spalten/Zeilen besitzt würde ich sagen ist der von L gleich 3 Bei der Abbildungsmatrix habe ich die Vektoren für mich erst mal umgeschrieben: \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0.5 \\ 0.5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} Um die Abbildungsmatrix zu berechnen muss ich ja folgendes machen: \begin{pmatrix} 2x-3y \\ x-2y+z \end{pmatrix} so ergibt sich bei mir die AM: \begin{pmatrix} 1 & -1.5 & 4 \\ 0 & -0.5 & 1 \end{pmatrix} bei der dritten habe ich leider garkein Ansatz
09.07.2014, 19:16	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Der es ist $\begin{eqnarray} \mathrm{rang}(f)=\dim \mathrm{bild}(f) \end{eqnarray}$ . Hilft dir das schon weiter?
09.07.2014, 20:24	Nicker7	Auf diesen Beitrag antworten »
ah ok das hilft mir schonmal. wusste nicht dass der rang = dim ist. Konnte mit dem begriff einfach nichts anfangen um dim auszurechnen muss ich den gaus anwenden. dass schreib ich mal als Matrix $\begin{eqnarray} <br /> \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0.5 & 0.5 \\ 2 & 0 & -1 \end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray}$ dann $\begin{eqnarray} <br /> \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0.5 & 0.5 \\ 0 & -2 & -1 \end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray}$ dann $\begin{eqnarray} <br /> \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0.5 & 0.5 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray}$ Damit bleibt es aber bei rg(L)=3 ich hoffe das wolltest du mir damit sagen und danke für die hilfe. Weißt du auch mit den nächsten zwei aufgaben was anzufangen? Danke übrgens für die Hilfe!!! Ps.: Tut mir leid wegen der schlechten Schreibweise ganz oben habe die ´´latex balken´´ vergessen
10.07.2014, 13:08	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Das stimmt so nicht. $\begin{eqnarray} <br /> \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0.5 & 0.5 \\ 2 & 0 & -1 \end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray}$ geht über zu $\begin{eqnarray} <br /> \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\ 0 & -1 & -1 \end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray}$ , dementsprechend ist $\begin{eqnarray} \mathrm{rg}(f)<3 \end{eqnarray}$ .

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