Wieder mal Integralprobleme

14.08.2004, 20:58

hds

Wieder mal Integralprobleme

Moin.

nachdem mein einer Thread doch etwas lang geworden ist fang ich einfach mal einen zweiten mit neuen Aufgaben an. Habe immer noch ein, zwei Probleme mit meinen Übungsaufgaben klar zu kommen, deren Lösung ich zwar habe, aber keine Lösungswege.
Momentan hänge ich an $\begin{eqnarray*} \int\frac{1}{1-x^4} \end{eqnarray*}$ .
Ergebnis ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}\mid\frac{1+x}{1-x}\mid + \frac{1}{2}\arctan{x} \end{eqnarray*}$ .
Einigermaßen Logisch, denn wenn ich den Term in $\begin{eqnarray*} \frac{1}{(1-x^2)(1+x^2)} \end{eqnarray*}$ aufspalte, wäre das ja das Integral des ersten und das Integral des zweiten Terms.
NUR: Warum summiert? Und wie das ganze integrieren, ohne mit einer partiellen Integration ein großes Chaos anzurichten?

Verzweifelt um die fehlende Eingebung bittend:

Julian

14.08.2004, 21:03

Mathespezialschüler

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RE: Wieder mal Integralprobleme
Hi Julian, Stichwort: Partialbruchzerlegung!! Schonmal gehört?? Wenn nich, würd ichs dir zeigen!

edit: Das Ergebnis soll wohl $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}\ln|\frac{1+x}{1-x}| + \frac{1}{2}\arctan{x} \end{eqnarray*}$ sein oder? Augenzwinkern

14.08.2004, 21:11

hds

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RE: Wieder mal Integralprobleme
Servus,

Ergebnis ist natürlich deins richtig. den LN hats beim texen wohl verschluckt...

ja, daran habe ich auch gedacht. Irgendwie war mein Hirn aber gerade kapazitär nicht fähig, eine zu machen. Bzw. wußte ich nicht, was ich nach der Faktorisierung mache, wenn der Zähler lediglich 1 beträgt.
Und überhaupt. Wie muß die Faktorisierung genau aussehen? Wäre sehr dankbar für einen Hinweis, weil das in meiner Literatur etwas arg umständlich beschrieben ist smile

Grüße,

Julian

P.S: stimmt das bei dir angegebene Alter? Macht mir irgendwie angst Augenzwinkern

14.08.2004, 21:21

Mathespezialschüler

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RE: Wieder mal Integralprobleme
Also, ich mach den Anfang mal vor, man versucht, diesen Bruch in zwei Brüche mit dem Nenner $\begin{eqnarray*} 1+x^2 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} 1-x^2 \end{eqnarray*}$ zu zerlegen. Das geschieht, indem man die Zähler erstmal irgendwie benennt, hier mit A und B, so wie üblich, also folgendermaßen:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(1+x^2)(1-x^2)} = \frac{A}{1+x^2} + \frac{B}{1-x^2} \end{eqnarray*}$

Jetz einfach die rechte Seite auf die linke zurückführen:

$\begin{eqnarray*} \frac{A}{1+x^2} + \frac{B}{1-x^2} = \frac{A(1-x^2)}{(1+x^2)(1-x^2)} + \frac{B(1+x^2)}{(1-x^2)(1+x^2)} = \frac{A - Ax^2 + B + Bx^2}{(1+x^2)(1-x^2)} \end{eqnarray*}$

Da aber der Zähler 1 werden muss, muss gelten:

$\begin{eqnarray*} A - Ax^2 + B + Bx^2 = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A + B + x^2(B - A) = 1 \end{eqnarray*}$

Wenn A = B, dann

$\begin{eqnarray*} A + B + x^2(B - A) = A + B = 1 = 2A \end{eqnarray*}$

also:

$\begin{eqnarray*} A = B = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

einsetzen:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(1+x^2)(1-x^2)} = \frac{A}{1+x^2} + \frac{B}{1-x^2} = \frac{1}{2(1+x^2)} + \frac{1}{2(1-x^2)} \end{eqnarray*}$
und dann kann man integrieren, das linke ist direkt als Ableitung von arctan indentifizierbar, das rechte geht nochmal über Partialbruchzerlegung. Augenzwinkern

edit: PS: Ja, das Alter stimmt Augenzwinkern

:P Wie alt bist du denn?? (wenn man fragen darf)

14.08.2004, 22:06

hds

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Hi,

vielen Dank..
Langsam fange ich an durchzublicken....
Ich packe also einfach die anderen Teile der Brüche (also den Zähler von A in B und den Zähler von B in A) in die Zähler, multipliziere mit der Variable und löse das Ganze im Besten Fall als LGS?
(Also ganz grob gesagt...)
Naja. so langsam komme ich drauf. Danke auf jeden Fall smile

Grüße,

Julian

P.S: bin 23. Habe dieses Niveau von Integralen nicht in der Schule gemacht (trotz Mathe-LK) und stoße jetzt erst im Studium drauf. Nachdem ich 3 Jahre aus der Schule draußen bin und dementsprechend auch schon einiges vergessen habe...

14.08.2004, 22:22

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von hds

Ich packe also einfach die anderen Teile der Brüche (also den Zähler von A in B und den Zähler von B in A)

Du kannst es auch einfach erweitern nennen (Hauptnenner) bzw. eigentlich addierst du einfach nur die beiden Brüche Augenzwinkern

Dabei entsteht übrigens im Allgemeinen nicht ein LGS, zumindest nicht eines, bei dem du n Variablen und n Gleichungen, sondern meistens n Variablen und m<n Gleichungen hast. Siehst du ja, dass das oben auch gefunden (geraten) und nicht errechnet ist Augenzwinkern

15.08.2004, 15:52

hds

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Moin,

glaube das habe ich verstanden.
Wie würde ich das aber bei $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x-\sqrt{x^2}} \end{eqnarray*}$ machen?
komme ich da dann nicht auf $\begin{eqnarray*} \frac{A}{x}-\frac{B}{\sqrt{x^2-1}} \end{eqnarray*}$ und wie kann ich da A und B auflösen? Oder verstehe ich da was falsch?

Grüße,

Julian

-------------------------------------
Noch eins:

bei $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x^2-1} \end{eqnarray*}$ komme ich ja auf $\begin{eqnarray*} \frac{1}{(x+1)(x-1)} \end{eqnarray*}$ .
Wenn ich das nun auf $\begin{eqnarray*} \frac{A}{x-1}+ \frac{B}{x+1} \end{eqnarray*}$ setze, komme ich dann beim Erweitern auf Ax -A + Bx + B.
Das "löst sich" dann nach Ax + Bx = 1 auf. ich kriege also das x nicht raus.

Wie komme ich dennoch auf ein Ergebnis? smile

grüße,

Julian

15.08.2004, 20:01

Mathespezialschüler

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Also erstmal bitte keine Doppelposts Augenzwinkern

, hab sie mal zusammengefügt.

Zu der 1. Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x-\sqrt{x^2}} = \frac{1}{x-x} = \frac{1}{0} \end{eqnarray*}$

Hää?? Ich glaube nicht, dass du diese Funktion möchtest (,weil sie nicht existiert)

Zur 2.:

Estmal wenn du

$\begin{eqnarray*} \frac{A}{x-1}+ \frac{B}{x+1} \end{eqnarray*}$

richtig erweiterst, kommst du auf

$\begin{eqnarray*} Ax+ A + Bx - B \end{eqnarray*}$

Da kürzt sich erstmal nichts weg!!!!!! Du hast angenommen, dass A=B, warum??? Du hast mMn das Prinzip noch nich verstanden. Ich zeigs dir nochmal:

Du weißt, dass

$\begin{eqnarray*} Ax + A + Bx - B = 1 \end{eqnarray*}$

Jetz erstmal umformen:

$\begin{eqnarray*} (A+B)x + A - B = 1 \end{eqnarray*}$

Und jetz das wichtige: rechts ist nur eine 1, also kein x, das heißt das x auf der linken Seite muss auch weg, daraus folgt:

$\begin{eqnarray*} A + B = 0 \end{eqnarray*}$

, weil dann $\begin{eqnarray*} (A+B)x = 0x \end{eqnarray*}$ wird.

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow\ A = -B \end{eqnarray*}$

Mit $\begin{eqnarray*} A + B = 0 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} A = -B \end{eqnarray*}$ wird:

$\begin{eqnarray*} (A+B)x + A - B = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0x + (-B) - B = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -2B = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B = -\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A = -B = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Verstanden??

15.08.2004, 23:28

hds

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Moin

Irgendwie hats da einen Teil verschluckt.
Der Term heißt $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x-\sqrt{x^2-1}} \end{eqnarray*}$

Grüße,

Julian

15.08.2004, 23:35

Mathespezialschüler

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Hi nochmal,
hast du erstmal das verstanden, was ich oben geschrieben hab?

Zu dem anderen: bei Summen im Nenner wirds schwierig!
Bis jetz hatten wir immer Produkte, da ging das, weil wenn du erweiterst, bekommst du auch das Produkt wieder als Nenner. Wie willst du aber deines aufteilen, sodass beim Erweitern eine Summe im Nenner bei rauskommt?? Das wird mMn ziemlich schwer (bzw. unmöglich)

15.08.2004, 23:51

hds

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Moin,

das andere habe ihc verstanden, vielen Dank! beim anderen..
sonst ne Idee wie man das Integrieren könnte?
Grüße,

Julian

15.08.2004, 23:59

Leopold

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Solche Aufgaben sind ja eher Rätselaufgaben als sinnvolle Übungsaufgaben.
Erweitere den Bruch so, daß im Nenner die dritte binomische Formel entsteht, der Nenner wird dadurch zu 1. Schwuppdiwupp, weg ist er! Und was übrig bleibt, kannst du in zwei Summanden aufspalten. Das Integral mit der Wurzel findest du in jeder Formelsammlung, du kannst es aber auch mit der Substitution x = cosh t versuchen und die Funktionalgleichung cosh²t - sinh²t = 1 verwenden. Und dann auf das Integral über sinh²t = sinh t · sinh t partielle Integration anwenden. Und dann brauchst du die Funktionalgleichung ein zweites Mal.

16.08.2004, 00:26

hds

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Moin,

vielen Dank, darauf die Wurzel einfach als zweiten Teil einer Binomischen Formel zu sehen war ich nicht gekommen.
Was die sonstigen Übungsaufgaben angeht: kannst du mir denn alternativ andere wirklich anspruchsvolle integral-Aufgaben empfehlen? Lerne gerade auf Höhere Mathematik für Informatiker und Integrale sind die Basis für das was noch kommt (mehrfachintegrale, Integrale im R^n und so weiter).

Für jede Hilfe dankbar,

Julian

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