Aus Ellipsenumfang und Halbachsenverhältnis, die Länge der Halbachsen berechnen.

10.07.2014, 09:45

geraldinio

Aus Ellipsenumfang und Halbachsenverhältnis, die Länge der Halbachsen berechnen.

Meine Frage:
Hallo Zusammen,

ich stehe vor folgendem Problem:

Ich habe den Umfang einer Ellipse und ein fixes Seitenverhältnis der Halbachsen.
Damit möchte ich eine Gleichung aufstellen, mit der ich die länge der beiden Halbachsen berechnen kann. Leider habe ich es nicht hinbekommen.

Meine Ideen:
Ich habe es mit dieser Gleichung versucht:

$\begin{eqnarray*} u=(a+b)*\pi *(1+\frac{3\lambda²}{10+\sqrt{4-3\lambda²} } ) \end{eqnarray*}$

Allerdings bin ich beim Umstellen nach a und b gescheitert.
Ich möchte zu diesem Zeitpunkt b noch nicht durch x*a ersetzen um die Gleichung allgemein zu halten.

Über jede Idee bin ich dankbar. Achja der Einsatzzweck ist für die algorithmische Generierung von Geometrie in Rhino.

Vielen Dank schon im Voraus,

geraldinio

10.07.2014, 10:30

Bürgi

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RE: Aus Ellipsenumfang und Halbachsenverhältnis, die Länge der Halbachsen berechnen.
Guten Morgen,

1. Ich kenne keine Formel zur Berechnung des Ellipsenumfangs, nur zwei unterschiedliche Näherungsformeln:

$\begin{eqnarray*} u_{Ellipse} \approx \pi \left(\frac32 (a+b)-\sqrt{a b}\right) \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} u_{Ellipse} \approx \frac{\pi}2 \left(a+b+\sqrt{2(a^2+ b^2)}\right) \end{eqnarray*}$

2. Durch Einsetzen von u und b (in Abhängigkeit von a) müsstest Du einen Näherungswert für a berechnen können.

10.07.2014, 11:42

geraldinio

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Danke für die schnelle Antwort,

Entschuldigung, ich habe natürlich fälschlicherweise aus dem $\begin{eqnarray*} \approx \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} = \end{eqnarray*}$ gemacht.

Mir ist bei deiner Antwort jedoch noch nicht ganz klar ob ich einsetzen muss um umzustellen.

Ich habe jetzt versucht die Näherungsformeln umzustellen. Ich scheitere allerdings kläglich!

Ist es überhaupt möglich die Formeln so umzustellen, dass am Ende etwas derartiges dabei heraus kommt?:

$\begin{eqnarray*} u_{ellipse}*... \approx 4a+3b \end{eqnarray*}$

10.07.2014, 13:17

Bürgi

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Hallo,

damit wir uns nicht missverstehen:

1. Ich bin davon ausgegangen, dass die Halbachsen a und b in einem festen Verhältnis stehen, d.h., $\begin{eqnarray*} b = k \cdot a \end{eqnarray*}$ mit einem konstanten k.

2. Ich bin davon ausgegangen, dass der Umfang u bekannt ist, also konstant.

3. Du wolltest die Längen der Halbachsen bestimmen.

Wenn Du die erste Näherungsformel benutzen willst, dann ergibt sich Folgendes:

$\begin{eqnarray*} u \approx \pi \left(\frac32 (a+b)-\sqrt{a b}\right) \end{eqnarray*}$

Einsetzen und durch $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ teilen:

$\begin{eqnarray*} \frac u\pi \approx \frac32(a+k \cdot a)-\sqrt{k\cdot a^2}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac u\pi \approx \frac32(1+k - \frac23 \sqrt{k})\cdot a \end{eqnarray*}$

Jetzt durch das ganze Geraffel vor a teilen und Du hast auf der linken Seite nur noch konstante, bekannte Werte.

Mit dem Wert für a den Wert für b bestimmen.

10.07.2014, 14:09

geraldinio

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Danke Bürgi für die Klärung :-).

Zitat:

1. Ich bin davon ausgegangen, dass die Halbachsen a und b in einem festen Verhältnis stehen, d.h., b = k \cdot a mit einem konstanten k.

2. Ich bin davon ausgegangen, dass der Umfang u bekannt ist, also konstant.

3. Du wolltest die Längen der Halbachsen bestimmen.

Genau so habe ich das zu Beginn gemeint.

Ich habe nun die zweite Formel genommen und entsprechend umgestellt.

$\begin{eqnarray*} u_{Ellipse} \approx \frac{\pi}2 \left(a+b+\sqrt{2(a^2+ b^2)}\right) \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} b = k*a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u_{Ellipse} \approx \frac{\pi}2 \left(a+k*a+\sqrt{2(a^2+ k*a^2)}\right) \end{eqnarray*}$

durch $\begin{eqnarray*} \frac{\pi} {2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{2*u}{\pi } \approx a+k*a+\sqrt{2+(a^2+(k*a)^2)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{2*u}{\pi } \approx a+k*a+\sqrt{2a^2+2k^2*a^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{2*u}{\pi } \approx a+k*a+a*\sqrt{2+2k^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{2*u}{\pi } \approx a(1+k+\sqrt{2+2k^2}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{2*u}{\pi*(1+k+\sqrt{2+2k^2})} \approx a \end{eqnarray*}$

Das ist jetzt mein Stand und diese Formel scheint bei einer Beispielrechnung zumindest gut zu funktionieren.

Bin leider sehr unsicher, deshalb noch würde ich dich bitten kurz drüber zu schauen.

Soweit aber schon einmal besten Dank Bürgi für deine Zeit und Mühe :-)

10.07.2014, 16:08

Bürgi

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Hallo,

alles paletti! Freude

10.07.2014, 16:11

geraldinio

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Perfekt, nochmals vielen Dank für deine Hilfe.
Prost

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