arctan Taylor serie

10.07.2014, 11:33

dudidude

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arctan Taylor serie

Meine Frage:
Zeige mit hilfe der Herleitung fuer ln (x+1) fuer x_0=0 dass $\begin{eqnarray*} arctan (x)=\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n} * \frac {x^{2n+1}}{2n+1}, x\in (-1, 1) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
1.2.3.te ableitung

$\begin{eqnarray*} \frac {1}{1+x^2} 2. \frac{-2x}{(1+x^2)^3} 3. \frac {-2}{(1+x^2)^3}+\frac {6x^2}{(1+x^2)^4} \end{eqnarray*}$

Wie bekomme ich die n-te ableitung und die restabschaetzung hin

10.07.2014, 11:39

bijektion

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Deine zweite Ableitung stimmt schon nicht.

10.07.2014, 11:53

dudidude

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2. Pardon $\begin{eqnarray*} \frac {-4x}{(1+x^2)^3}, 3. \frac {-4}{(1+x^2)^3}+\frac {24x^2}{(1+x^2)^4} \end{eqnarray*}$

10.07.2014, 12:32

bijektion

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Wie kommst du darauf? $\begin{eqnarray*} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{1}{1+x^2}=\frac{-2\cdot x}{(1+x^2)^2} \end{eqnarray*}$ .
Dementsprechnend passen die weiteren Ableitungen auch nicht.

10.07.2014, 12:45

dudidude

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ich kann doch nicht so blöd sein und nicht ableiten können moment. ich werde es ausführlich notieren

Quotientenregel:
$\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{1}{1+x^2}, \frac{(0*1+x^2)+(1*2x)}{(1+x^2)^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{1}{1+x^2}. f'(x)= \frac{2x}{(1+x^2)^2} \end{eqnarray*}$

jetzt müsste die erste stimmen.

$\begin{eqnarray*} f'(x)= \frac{2x}{(1+x^2)^2} \end{eqnarray*}$

quotientenregel:

$\begin{eqnarray*} f''(x)=\frac{(2*(1+x^2)^2)+(2x*2(1+x^2)*2x)}{((1+x^2)^2)^2}=\frac{(2*(1+x^2)^2)+(16x^{2}*(1+x^2))}{((1+x^2)^2)^2} \end{eqnarray*}$

so oder?

10.07.2014, 12:50

bijektion

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Beim ersten fehlt jetzt zwar eine Klammer, aber die hast du dir scheinbar dabei gedacht. Zudem fehlt aber immernoch ein Minus, es ist $\begin{eqnarray*} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{1}{1+x^2}=\frac{0\cdot (1+x^2)-2\cdot x}{(1+x^2)^2} \end{eqnarray*}$ .

Weiter folgt $\begin{eqnarray*} \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2}\frac{1}{1+x^2} = \frac{-2\cdot (1+x^2)^2-(2\cdot (1+x^2)\cdot 2\cdot x)\cdot(-2\cdot x)}{(1+x^2)^4} \end{eqnarray*}$ .

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10.07.2014, 13:28

dudidude

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also

$\begin{eqnarray*} f'(x)= \frac{-2x}{(1+x^2)^2},f''(x)= \frac{8x^2}{(x^2+1)^3}-\frac{2}{(x^2+1)^2},f'''(x)= \frac{24x}{(x^2+1)^3}-\frac{48x^3}{(x^2+1)^4} \end{eqnarray*}$

fuck ich weis jetzt nicht wie ich auf die n-te ableitung komme...:/

10.07.2014, 14:18

bijektion

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Ja, $\begin{eqnarray*} \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2}\frac{1}{1+x^2} = \frac{-2\cdot (1+x^2)^2-(2\cdot (1+x^2)\cdot 2\cdot x)\cdot(-2\cdot x)}{(1+x^2)^4}=\frac{-2}{(1+x^2)^2}+\frac{8\cdot x^3}{(1+x^2)^3} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

ich weis jetzt nicht wie ich auf die n-te ableitung komme...:/

Ich zitiere mal:

Zitat:

Zeige mit hilfe der Herleitung fuer ln (x+1) fuer x_0=0

Wie sieht die Herleitung aus? Beachte außerdem, dass du jeweils nur $\begin{eqnarray*} f^{(n)}(x_0) \end{eqnarray*}$ benötigst.

10.07.2014, 15:29

dudidude

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Zitat:

Wie sieht die Herleitung aus? Beachte außerdem, dass du jeweils nur $\begin{eqnarray*} f^{(n)}(x_0) \end{eqnarray*}$ benötigst.

jup er hat jetzt die n-te ableitung bestimmt ,jedoch finde ich das etwas schwierig hier,weil ich überhaupt nicht sehe ,wie ich das auf einer n-te ableitung bringen kann . Im ln beispiel ist das einfacher als hier für mich..:/ Ich meine, ich sehe ja das im nenner $\begin{eqnarray*} (1+x^2)^{2n} \end{eqnarray*}$ steht ,aber ob das so relevant ist ,weis ich auch nicht. Sorry bijektion..:/

10.07.2014, 15:34

bijektion

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Zitat:

jup er hat jetzt die n-te ableitung bestimmt

Wer?

Zitat:

ich sehe ja das im nenner (1+x^2)^{2n}

Wo? Das stimmt schon für $\begin{eqnarray*} n=2 \end{eqnarray*}$ nicht.

10.07.2014, 15:43

dudidude

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Hi

also hier im Link ist das Teilstück vom Skript wo die Herleitung drin steht. Ich glaube es ist besser so als wenn ich es wiedergebe und vielleicht sogar zu ungenau
https://www.dropbox.com/sh/0v5rhdosngakf...8Uuych1cmOTqmga

6.3 ist die Herleitung die wir benutzen sollen

10.07.2014, 17:57

bijektion

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Das hilft im Grunde auch nur dann weiter, wenn du die $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -te Ableitung kennst.
Schau dir erstmal die ersten Ableitungen im Nullpunkt an, vielleicht erkennst du schon ein Muster.

10.07.2014, 18:10

dudidude

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ok

$\begin{eqnarray*} f'(0)=0,f''(0)=-2,f'''(0)=0, \frac{f'(0)}{0!}=0,\frac{f''(0)}{2!}=-1,\frac{f'''(0)}{3!}=0 \end{eqnarray*}$ also das wird alles null außer bei $\begin{eqnarray*} f'' \end{eqnarray*}$

da die meisten der ableitungen null sind und der nenner $\begin{eqnarray*} (1+x^2)^n \end{eqnarray*}$ ist muss im zähler aus ein Produkt mit $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ beinhaltet stehen oder?

Hinzugefügt um 18:17h

hab was für den zähler $\begin{eqnarray*} \frac{n!*x^{n-1}}{(1+x^2)^n} \end{eqnarray*}$

10.07.2014, 20:13

dudidude

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Ich komm einfach nicht auf diese fucking n-te Ableitung!

10.07.2014, 20:24

Guppi12

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Musst du denn tatsächlich diesen Weg gehen oder stehen dir zum Beispiel auch schon gleichmäßige Konvergenz und (gliedweise) Integration zur Verfügung?

10.07.2014, 21:02

dudidude

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hallo gruppi smile

smile

nein ich muss das genau so machen, wie der prof. das gemacht hat,das befindet sich ein wenig höher in dieser conversation unter dem dropbox link.

:/

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