Anzahl Fixpunkte bzgl. Gruppenoperation

10.07.2014, 14:23	DerJFK	Auf diesen Beitrag antworten »
Anzahl Fixpunkte bzgl. Gruppenoperation Aufgabe: X eine Menge, p Primzahl und $\begin{eqnarray} C_p \end{eqnarray}$ eine zyklische Gruppe mit $\begin{eqnarray} \|C_p\| = p \end{eqnarray}$ . Sei X endlich. Beweisen sie, dass die Anzahl der Elemente in X, die unter der Wirkung von $\begin{eqnarray} C_p \end{eqnarray}$ invariant sind, kongruent zu $\begin{eqnarray} \|X\| \end{eqnarray}$ modulo p ist. Fragen/Ansätze: Wegen der Bahnformel $\begin{eqnarray} \|O_x\| = \frac{\|C_p\|}{\|(C_p)_x\|} \end{eqnarray}$ hat jede Bahn $\begin{eqnarray} O_x = \{ gx \ \| \ g \in C_p \} \end{eqnarray}$ entweder $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ Element(e). Die Menge der Punkte die gegenüber der Operation Invariant bleiben bezeichnen wir mit $\begin{eqnarray} \text{Fix}(G) = \{ x \ \| \ gx = x \ \forall g \in G \} \end{eqnarray}$ Für jede Bahn mit $\begin{eqnarray} \|O_x\|=1 \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ ein Fixpunkt. Weiter wissen wir, dass $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ als Vereinigung disjunkter Bahnen geschrieben werden kann, also: $\begin{eqnarray} \|X\| = \sum_{i=1}^k \|O_{x_i}\| = \sum_{i=1}^l \underbrace{\|O_{x_i}\|}_{=p} + \sum_{i=l+1}^k \underbrace{ \|O_{x_i}\|}_{=1} = l \cdot p + k-l-1 = l \cdot p + \|\text{Fix}(C_p)\| \ \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \|X\| \equiv_p \|\text{Fix}(C_P)\| \end{eqnarray}$ ist das so richtig? Gruß und danke
10.07.2014, 14:37	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Das sollte so passen

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »