2 Kreise, 2 Sehnen & doppelter Winkel - Kreismittelpunkt gesucht

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numerobis Auf diesen Beitrag antworten »
2 Kreise, 2 Sehnen & doppelter Winkel - Kreismittelpunkt gesucht
Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich habe ein (selbst gestelltes) geometrisches Problem und schwanke zwischen der Frage ob es überhaupt lösbar oder gar ganz trivial ist.

Ich habe eine Kreissehne, mit der Länge 140 (grün). Um den Kreis dieser Sehne geht ein weiterer Kreis, der um 35 größer als der innere Kreis ist (beide blau). r2 ist also r1+35.
Ich suche nun den Mittelpunkt dieser beiden Kreise unter der Berücksichtigung, dass der Sehnenwinkel der äußeren Sehne (magenta) doppelt so groß wie der Sehnenwinkel der inneren Sehne (grün) ist.

Wenn ich also a, h oder Alpha herausfinden könnte, wüsste ich auch wo der Mittelpunkt der beiden Kreise ist.

Meine Ideen:
Erst habe ich versucht diverse Kreissehnenformeln für beide Kreise aufzustellen und die dann gleichzusetzen, wobei ich mich dann aber am Ende immer wieder im sprichwörtlichen Kreis gedreht habe.
Dann habe ich probiert das ganze auf 2 rechtwinklige Dreiecke zu reduzieren, ersteres mit Ankathete h, Gegenkathete s1/2 und Hypotenuse r1 und Zweiteres mit Ankathete h, Gegenkathete s2/2 und Hypotenuse r2. Das hat aber auch zu nichts geführt.
Zeichnerisch bekomme ich eine Konstruktion, die meine Anforderungen erfüllt, leicht erstellt - aber nur wenn ich "von außen" und mit einem beliebigem r2 anfange, wodurch ich natürlich nicht die Maße bekomme, die ich bräuchte.
Für "meine" Maße weiß ich, dass h zwischen 230 und 250 liegt und Alpha/2 ungefähr 16.4° sein müsste.

Habe ich zu wenige Variablen oder sehe ich irgendetwas nicht?
Viele Grüße,
Philipp
Bürgi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: 2 Kreise, 2 Sehnen & doppelter Winkel - Kreismittelpunkt gesucht
Guten Morgen,

Deine Idee mit den rechtwinkligen Dreiecken ist gut - leider benutzt Du die falschen rw Dreiecke:

1. Die halben Sehnen sind Höhen in den rechtwinkligen Dreiecken mit der Hypotenuse 2r bzw. 2r+70.

2. a bzw. a+35 sind Hypotenusenabschnitte.

3. Benutze den Höhensatz. Du bekommst 2 Gleichungen, die nach a und r gelöst werden müssen:





Das Ganze läuft auf das Lösen einer quadratischen Gleichung hinaus.


EDIT: Wer lesen kann, ist echt im Vorteil ... verwirrt
Alles, was ich heute morgen geschrieben habe, hat mit Deiner Aufgabe nichts zu tun. k.v.!
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Im Prinzip (allgemein) sollte die Aufgabe lösbar sein. Allerdings kommt es offensichtlich sehr auf die gegebenen Zahlenwerte an.
Ich hatte schon gestern versuchsweise 4 Gleichungen aufgestellt, davon sind zwei ähnlich wie jene von Bürgi. Erschwerend für die weitere Rechnung ist der doppelte Zentriwinkel.

sei die halbe Sehnenlänge im größeren Kreis, der Radius des kleineren Kreises und :








------------------------------------------------------------------------

Das System ist dann insgesamt auf eine Gleichung 5. Grades in zurückzuführen, welche man näherungsweis lösen kann.
Es kann aber dennoch der Fall sein, dass die Lösung (r = rd. 84, s = rd. 110, a = rd. 37,6, phi = 56,5°) nicht den gezeichneten Verhältnissen entspricht, weil die angenommenen/gegebenen Zahlenwerte so nicht zusammenpassen.

mY+
numerobis Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die Antworten,

ich verstehe es allerdings leider noch nicht so recht. Das mit den Höhensatz geht glaube ich nicht, weil die Dreiecke mit der halben Sehne als Höhe leider keine rechtwinkligen Dreiecke sind.

Wenn ich es mit r = rd. 84, s = rd. 110, a = rd. 37,6, phi = 56,5° zeichne, ist der äußere Sehnenwinkel nicht das Doppelte vom inneren Sehnenwinkel.

Ich habe eine kleine Konstruktion gebastelt, die es mir erlaubt an a zu "ziehen" bis, die Winkel ungefähr gleich sind, was mich auf die angesprochenen ungefähren Werte bringt - leider eben nur ungefähr, siehe Anhang. Den Mittelpunkt für meine Werte bzw. mein Werteverhältnis scheint es also schon zu geben, nur bekomme ich ihn nicht exakt heraus.

Gibt es vielleicht eine exakte zeichnerische Konstruktion? Wie schon gesagt, lässt sich so eine Konstruktion "von außen" recht einfach zeichnen. Nur von innen, also wenn ich mir meiner inneren Sehne anfange, bekomme ichs leider nicht gebacken.

Danke & Viele Grüße
Bürgi Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

nur zur Erläuterung: Der Höhensatz wird in diesem:
[attach]34845[/attach]

rechtwinkligen Dreieck angewendet, d.h., Du müsstest Deine Zeichnung ergänzen. Vgl. die letzten beiden Gleichungen von mYthos.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Die Gleichung von mYthos verstehe ich nicht. Ich habe stattdessen:



Das gilt nach dem Kathetensatz, angewandt im großen Kreis auf das rechtwinklige Dreieck mit dem Durchmesser als Hypotenuse und als Kathete. Anschließend habe ich die Gleichung noch durch dividiert.

Und statt habe ich



Die Bedeutungen von und habe ich von mYthos übernommen. Wobei letztlich eine überflüssige Größe ist, weil man die Verhältnisgleichheit



gleich der Ähnlichkeit zweier rechtwinkliger Dreiecke mit dem Winkel entnehmen kann.

Aus den vier Gleichungen bekommt man



mit zwei positiven Lösungen



zu denen die Radien



gehören. Nur das Paar scheint eine Lösung des Problems zu sein.
 
 
numerobis Auf diesen Beitrag antworten »

Vorab schon einmal vielen Dank, das stimmt genau Freude

Das mit den "richtigen" Dreiecken habe ich mittlerweile verstanden, (danke Bürgi!), um es gänzlich zu verstehen muss ich aber noch ein paar Fragen stellen.

Die Gleichungen bis verstehe ich, bei und tue ich mich noch etwas schwer.

zu :
Wieso nur und nicht ?

zu :
Hier hänge ich komplett. Ein Dreieck im großen Kreis mit der Kathete und dem Durchmesser als Hypotenuse verstehe ich noch - aber wie kommt man dann mit dem Kathetensatz auf diese Gleichung?

Und dann noch etwas unbedarft gefragt - wie erstellt man aus den vier Gleichungen die eine Gleichung fünften Grades - und wie löst man sie? Und - kann ich das auch? Ich muss das eventuell nochmal für ein anderes Zahlenpaar machen und würde euch ungern nochmal auf den Nerv gehen...
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von numerobis
Wieso nur und nicht ?


Mir geht es gerade umgekehrt. Ich verstehe nicht, warum .

Die beiden farbig gekennzeichneten Dreiecke sind ähnlich. Denn sie sind rechtwinklig und stimmen im Winkel überein. Das Verhältnis aus der gegenüberliegenden Kathete und der Hypotenuse ist daher gleich:



Jetzt betrachte die beiden dunkelbraunen Strecken. Sie sind die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen Hypotenuse der Durchmesser des kleineren Kreises ist (Satz des Thales). Nach dem Höhensatz gilt:



Dann betrachte völlig analog im größeren Kreis das rechtwinklige Dreieck mit dem Durchmesser als Hypotenuse und der hellbraunen Strecke sowie der Strecke als Katheten. Gemäß dem Kathetensatz gilt, nachdem man noch durch dividiert hat:



[attach]34852[/attach]

Man löst nach und nach auf und setzt das in ein. Dann ersetzt man nochmal gemäß . So erhält man eine Gleichung, die nur noch enthält. Sie läßt sich mit elementaren Methoden auf die Gleichung fünften Grades bringen, die ich in meinem vorigen Beitrag genannt habe. Die Einzelheiten habe ich einem CAS überlassen.

Substituiert man übrigens , so bekommt die Gleichung nach Normierung freundlichere Koeffizienten:

riwe Auf diesen Beitrag antworten »

ich hab´s zwar über den Cosinus gebastelt, das Ergebnis deckt sich mit der Rechnung von Leopold Augenzwinkern
numerobis Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Mir geht es gerade umgekehrt. Ich verstehe nicht, warum .


Da sind wir wohl von verschiedenen Dreiecken ausgegangen. Danke für die Zeichnung!
Nach etwas längerem Ausprobieren habe ich es nun wohl (hoffentlich) größtenteils begriffen und bekomme es auch mit anderen Werten gelöst.

Ich bin Euch sehr dankbar, ihr habt mir extrem weitergeholfen!

Viele Grüße,
Philipp
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

@ riwe

Man sollte allerdings dazusagen, daß dein s nicht das von mYthos eingeführte und von mir weiterverwendete ist, sondern einfach ein Parameter mit Wert 140.
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
@ riwe

Man sollte allerdings dazusagen, daß dein s nicht das von mYthos eingeführte und von mir weiterverwendete ist, sondern einfach ein Parameter mit Wert 140.


steht im Bilderl Augenzwinkern
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Meine Berechnungen gingen von s = s2/2 (in der Anfangsgrafik) aus, daher die unterschiedlichen Ansätze und der doppelte Winkel ...
Da aber die Lösung bereits weitgehend berechnet wurde, sind meinerseits weitere Rechnungen oder Korrekturen nicht mehr nötig.

mY+
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