Fragen zu endlichen Morphismen

10.07.2014, 23:23

flyingdutchman21

Fragen zu endlichen Morphismen

Meine Frage:
Mir sind noch ein paar Sachen zu den Morphismen von affinen Varietäten unklar.
Wenn ich eine irreduzible affine Varietät $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ und einen endlichen, surjektiven Morphismus $\begin{eqnarray*} \phi V \rightarrow A \end{eqnarray*}$ habe, warum ist dann $\begin{eqnarray*} \mathcal O(V) \end{eqnarray*}$ in natürlicher Weise ein endlich-erzeugter freier Modul?
Ich verstehe noch nicht, wie ich einen endlichen Morphismus von gegebenen affinen Varietäten angeben kann. Wie würde man beispielsweise einen endlichen Morphismus zwischen den Varietäten $\begin{eqnarray*} V = V(x^2y^3z^4 + xyz - 1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ bestimmen? Ich habe nichts passendes dazu gefunden und komme leider nicht selbst ndrauf.

Meine Ideen:
Eine Ringerweiterung ist endlich, genau dann wenn sie endlich erzeugt und ganz ist. Kann ich was damit anfangen? Wenn ja, dann seh ich es nicht. unglücklich

11.07.2014, 08:22

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ?

11.07.2014, 09:07

flyingdutchman21

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ soll die affine Varietät $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ sein.
Achja, es solle heißen : "...in natürlicher Weise ein endlich-erzeugter freier $\begin{eqnarray*} k[x] \end{eqnarray*}$ -Modul?"

11.07.2014, 10:11

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Also $\begin{eqnarray*} A = \mathbb A_k^1 \end{eqnarray*}$ ? Das ist die sinnvollere Schreibweise.

Nunja ein Morphismus zwischen affinen Varietäten ist ja nichts anderes als ein Homomorphismus der Koordinatenringe (wobei sich die Pfeile umdrehen, der Funktor ist ja kontravariant). Der Koordinatenring von $\begin{eqnarray*} \mathbb A_k^1 \end{eqnarray*}$ ist ja gerade $\begin{eqnarray*} k[x] \end{eqnarray*}$

D.h. ein Morphismus $\begin{eqnarray*} V \to A \end{eqnarray*}$ ist dasselbe wie ein Ringhomomorphismus $\begin{eqnarray*} k[x] \to \mathcal O(V) \end{eqnarray*}$ . Dass der Morphismus endlich ist, bedeutet übersetzt einfach nur, dass der Ringhomomorphismus endlich ist.

Foglich ist $\begin{eqnarray*} \mathcal O(V) \end{eqnarray*}$ endlich erzeugter $\begin{eqnarray*} k[x] \end{eqnarray*}$ -Modul. Warum der frei ist, darfst du dir noch überlegen. Tipp: torsionsfrei und frei sind bei endlich erzeugten Moduln über Hauptidealringen bekanntlich dasselbe.

11.07.2014, 10:29

flyingdutchman21

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von tmo
Also $\begin{eqnarray*} A = \mathbb A_k^1 \end{eqnarray*}$ ?

Ja, genau.

Ah, das hatte ich vorhin auch, aber ich war mir nicht sicher, dass dann auch $\begin{eqnarray*} k[x] \rightarrow \mathcal{O}(V) \end{eqnarray*}$ endlich ist.
Wenn $\begin{eqnarray*} ax = 0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a \in k[x] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \in \mathcal{O}(V) \end{eqnarray*}$ , dann muss bereits $\begin{eqnarray*} a = 0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x = 0 \end{eqnarray*}$ sein. Dann ist $\begin{eqnarray*} \mathcal{O}(V) \end{eqnarray*}$ torsionsfrei bzw. frei.

11.07.2014, 10:41

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie habt ihr denn einen endliche Morphismus zwischen Varietäten definiert? Eigentlich sollte die Tatsache, dass ein Morphismus zwischen affinen Varietäten genau dann endlich ist, wenn der zugehörige Ringhomomorphismus endlich ist, direkt aus der Definition abfallen.

Einen endlichen Morphismus für dein Beispiel gibt es übrigens gar nicht, denn ein endlicher Ringhomomorphismus $\begin{eqnarray*} \varphi: k[x] \to k[x,y,z]/(f) \end{eqnarray*}$ indzuiert eine ganze Ringerweiterung $\begin{eqnarray*} k[x]/ker(\varphi) \subset k[x,y,z]/(f) \end{eqnarray*}$ , im Widerspruch zu den verschiedenen Dimensionen der beiden Ringe.

11.07.2014, 11:01

flyingdutchman21

Auf diesen Beitrag antworten »

Wir haben kein Skript und ich war während der Vorlesung nicht anwesend. Ich wusste nur, dass ich den Homomorphismus der Koordinatenringe betrachten muss, aber nicht, dass dieser dann auch per definitionem endlich sein soll.

Vielen Dank für deine Hilfe! smile

Mein Beispiel war von mir zufällig gewählt. Ich wusste nicht, dass es keinen endlichen Morphismus gibt. Würde einer existieren, wenn ich $\begin{eqnarray*} \mathbb{A} \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} \mathbb{A}^2 \end{eqnarray*}$ ändere?
Von $\begin{eqnarray*} V = V(x^2y^2z^2 + x^4yz - 1) \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb{A}^2 \end{eqnarray*}$ gibt es laut einer Aufgabe einen endlichen Morphismus, aber mir ist überhaupt nicht klar, wie ich diesen angeben soll.

11.07.2014, 11:02

flyingdutchman21

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meinte $\begin{eqnarray*} V = V(x^2y^3z^4 - xyz + 1) \end{eqnarray*}$ .

11.07.2014, 11:04

flyingdutchman21

Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, $\begin{eqnarray*} V = V(x^2y^2z^2 - x^4yz + 1) \end{eqnarray*}$ . Copy-Paste falsch verwendet. unglücklich

11.07.2014, 11:12

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von flyingdutchman21
Von $\begin{eqnarray*} V = V(x^2y^2z^2 + x^4yz - 1) \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb{A}^2 \end{eqnarray*}$ gibt es laut einer Aufgabe einen endlichen Morphismus, aber mir ist überhaupt nicht klar, wie ich diesen angeben soll.

Ja, es gibt einen. Einen solchen anzugeben ist dasselbe wie eine ganze Ringerweiterung $\begin{eqnarray*} k[t_1,t_2] \subset k[x,y,z]/(x^2y^2z^2+x^4yz+1) \end{eqnarray*}$ anzugeben. Das dass möglich ist, ist gerade die Noether-Normalisierung. Da der Beweis (oder zumindest einer der Beweise) konstruktiv ist, kannst du damit arbeiten.

11.07.2014, 11:33

flyingdutchman21

Auf diesen Beitrag antworten »

1. Schritt: Als k-Algebra wird $\begin{eqnarray*} \mathbb{A}^2 \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} (x, 0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (0,y) \end{eqnarray*}$ erzeugt, richtig?

11.07.2014, 13:04

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Das macht kein Sinn. Der affine Raum ist doch keine k-Algebra. Was genau willst du denn nun eigentlich tun?

Neue Frage »

Antworten »

Fragen zu endlichen Morphismen

Verwandte Themen