Sin,Cos & Stetigkeit

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11.07.2014, 10:42	simon_0494	Auf diesen Beitrag antworten »
Sin,Cos & Stetigkeit Meine Frage: Hey! bin neu hier... Rechne gerade eine Probeklausur zum Thema Analysis durch und stehe bei folgender Aufgabe auf dem Schlauch: Sei $\begin{eqnarray} \lambda \in \mathbb R \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f:\mathbb R -> \mathbb R \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} f(x) = \lambda - 1 + x falls x \leq 0,<br /> bzw.<br /> f(x) = \frac{sin(\lambda x)}{x} falls x > 0 \end{eqnarray}$ . Bestimmen Sie $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ so, dass f an der Stelle $\begin{eqnarray} x_{0} \end{eqnarray}$ = 0 stetig ist. Hinweis: $\begin{eqnarray} \frac{sin(\lambda * x)}{x} = \lambda\frac{sin(\lambda x)}{\lambda * x} \end{eqnarray}$ Meine Ideen:* Da Stetigkeit ja bedeutet das es keine Sprungstelle gibt, also hier in x = 0 dachte ich mir ich setze das von kleiner/gleich null und größer null gleich also: $\begin{eqnarray} \lambda - 1 + x = \frac{sin(\lambda x)}{x} \end{eqnarray}$ dann kann ich das ganze umstellen und auflösen sodass es nahtlos übergeht, bzw dann Lambda so bestimmen, dass es stetig wird. Jedoch bringt mich das $\begin{eqnarray} \frac{sin(\lambda * x)}{x} \end{eqnarray*}$ immer wieder zum Fall... Ich weiß einfach nicht wie ich damit umgehen soll also wie ich das lambda oder das x da raus oder weg bekomme, jedenfalls weiß ich nicht wie ich das umstellen soll. Auch in der bereits geschriebenen Klausur kam das vor und ich wusste einfach nicht weiter. Wäre nett wenn mir jemand helfen könnte Mit freundlichen Grüßen, Simon PS: Habe die Aufgabe nochmal in den Anhang gepackt...
11.07.2014, 10:54	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst schauen was $\begin{eqnarray} \lim_{x\to 0} \frac{\sin (\lambda \cdot x)}{x} \end{eqnarray}$ ergibt, jetzt kannst du auch den Tipp nutzen, denn den Grenzwert $\begin{eqnarray} \lim_{x\to 0}\frac{\sin (\lambda \cdot x)}{\lambda \cdot x} \end{eqnarray}$ kennt man.
11.07.2014, 10:54	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Es sollte nicht möglich sein ein Lambda so zu wählen, dass es am Ende stetig ist. Betrachte: $\begin{eqnarray} \lim_{x\to 0} \frac{sin(\lambda x)}{x}=... \end{eqnarray}$
11.07.2014, 11:13	simon_0494	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah vielen Dank, ich bin garnicht darauf gekommen den Grenzwert davon anzuschauen. Jetzt bräuchte ich nur da auch nochmal schnell Hilfe Also der Grenzwert vom Zähler geht gegen null, richtig? Der Grenzwert von Nenner auch... Beudeutet das jetzt der Grenzwert geht im Allgemeinen gegen 1? oder gegen 0? Und dann kann ich doch die Gleichung lösen oder nicht? Verstehe nicht warum es dann nicht mögich sein sollte... Oder kommt nun doch der Grenzwert 1 heraus und das lambda löst sich in der Gleichung auf? Danke nochmal
11.07.2014, 11:21	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Bedenke doch den Tipp von Bijektion, dass du den Tipp auf deinem Zettel ausnutzen kannst. Ansonsten könntest du es natürlich auch mit L'Hospital lösen, falls bekannt.
12.07.2014, 21:39	simon_0494	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey Gmasterflash, habe den Tipp ja schon genutzt. Bin auch mit l'Hospital auf den Grenzwert 0 (für x gegen 0 gekommen). Wenn ich jetzt die Gleichung $\begin{eqnarray} \lambda - 1 + x = \frac{sin(\lambda x)}{x} \end{eqnarray*}$ löse sollte ich doch für x gegen 0 auf lambda = 1 kommen kann das stimmen? Grüße, Simon Edit: Ok habs mir zeichnen lassen und gesehen das es so nicht stetig ist... Weiß leider nicht wie ich jetzt weiter machen soll
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12.07.2014, 21:45	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Du solltest den Grenzwert mit L'Hospital falsch berechnet haben. Da kommst nicht Null raus.
12.07.2014, 23:45	simon_0494	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh ja, entschuldigung Gmasterflash Also: Grenzwert von $\begin{eqnarray} \lim_{x\to 0}\frac{\sin (\lambda \cdot x)}{\lambda \cdot x} \end{eqnarray}$ geht gegen 1, da Zähler und Nenner beide für lim x -> 0 den Grenzwert 0 haben , somit kann ih L'Hospital anwenden: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{f'(x)}{g'(x)} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f'(x) = cos(\lambdax)+\lambda \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g'(x) = \lambda \end{eqnarray}$ . Für x gegen 0 steht da dann im Prinzip $\begin{eqnarray} \frac{\lambda}{\lambda} \end{eqnarray*}$ , also Grenzwert 1. Diesmal richtig? Falls ja, dann bekomme ich auf das Ergebnis Lambda als -x zu bestimmen. Habe es auch zeichnen lassen, dann ist es tatsächlich Stetig. Kann das also doch so stimmen und möglich sein? Grüße, Simon
12.07.2014, 23:53	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Ableitung von $\begin{eqnarray} \sin(\lambda\cdot x) \end{eqnarray}$ ist doch nicht $\begin{eqnarray} \cos(\lambda\cdot x)+\lambda \end{eqnarray}$ , oder ist das ein Tippfehler? Und wenn du den Tipp anwendest, dann darfst du natürlich nicht vergessen wieder mit Lambda zu multiplizieren.
13.07.2014, 00:07	simon_0494	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso ja klar das multiplizieren hatte ich vergessen... und ja das sollte $\begin{eqnarray} \cos(\lambda\cdot x)\lambda \end{eqnarray*}$ heißen okey also fällt das lambda dann weg und es gibt keine lösung lambda richtig zu wählen?
13.07.2014, 00:10	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Was erhältst du denn als Grenzwert nun?
13.07.2014, 00:12	simon_0494	Auf diesen Beitrag antworten »
Lambda oder nicht? also Grenzwert von $\begin{eqnarray} \lim_{x\to 0}\lambda\frac{\sin (\lambda \cdot x)}{\lambda \cdot x} \end{eqnarray*}$
13.07.2014, 00:16	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau, der Grenzwert ist Lambda. Und ist $\begin{eqnarray} \lim_{x\to 0} \lambda-1+x=\lambda \end{eqnarray}$ ??
13.07.2014, 00:18	simon_0494	Auf diesen Beitrag antworten »
achso nein habe eben was anderes gemeint da müsste dann $\begin{eqnarray} /lambda - 1 \end{eqnarray}$ herauskommen
13.07.2014, 00:19	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, die Grenzwerte stimmen nicht über ein. Zwischen den Funktionen bleibt immer eine Differenz von 1, wenn wir uns x=0 annähern.
13.07.2014, 00:22	simon_0494	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja okey habs jetzt verstanden danke für die Geduld Habe das davor nochmal editet, aber das kannst du ignorieren ich weiß was du meinst. dankeschön
13.07.2014, 00:26	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Gern geschehen.

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