n-dimensionaler Würfel

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free.dom Auf diesen Beitrag antworten »
n-dimensionaler Würfel
Hallo!

Ich habe folgende Aufgabenstellung:

Der Graph heißt n-dimensionaler Würfel, falls folgendes gilt:
und


a) geben Sie füralle die Knoten- und Kantenmengen des n-dimensionalen Würfels an und zeichnen Sie entsprechende Graphendaigramme..

Wenn ich das richtig verstehe wäre doch



Stimmt das wirklich? Irgendwie kommt mir das merkwürdig vor mit den vielen Mengenklammern, aber soll ja von bis gehen, wobei diese jeweils Elemente von sind, also entweder 0 oder 1. Welches von den beiden soll ich denn nun für welchen Knoten nehmen, oder kann ich hier frei wählen?

Für die Kantenmenge sehe ich auch noch nicht so ganz wie ai != bi sein kann, aber aj == bj... Ich denke aber, dass sich das Problem schon von alleine klären könnte, wenn ich die richtigen Knoten habe. Denn so wie ich es habe ist ja jedes ai == bi == aj == bj, da alle Kanten die Menge mit den Elementen 0 und 1 enthalten.
free.dom Auf diesen Beitrag antworten »

Okay den zweiten Teil habe ich jetzt soweit verstanden, dass zwei Knoten eine Kante bilden, wenn sie sich in genau einer Koordinate unterscheiden.

Die Knotenmenge ist mir weiterhin noch unklar..
free.dom Auf diesen Beitrag antworten »

Weiß keiner was?? Also ich habe grundsätzlich vertsanden was n-dimensionale Würfel (Hyperwürfel) sind und wie sie aussehen, bzw woraus sie hervorgehen.. Ich verstehe nur leider nicht wie die Graphen dazu aussehen sollen bzw. wie ich da ran gehen muss...

Oder sind meine Ergebnisse sogar schon richtig? Es würde mir so weiterhelfen, wenn jemand der was dazu weiß mir auch nur einen Ansatz geben kann oder sagen kann, ob die Ergebnisse soweit stimmen..

Vielen Dank im voraus!
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Ein n-dimensionaler Würfel nach obiger Definition soll ein Gebilde sein, bei dem jede Ecke n Koordinaten hat und jede Koordinate nur die Werte 0 oder 1 annehmen kann. Eine Ecke ist also ein n-Tupel von Zahlen 0 oder 1. Dieses n-Tupel wird nach deiner Definition in runde Klammern eingeschlossen, ist also nicht als Menge definiert. Das ist auch sinnvoll, denn bei den Koordinaten kommt es ja auch auf die Reihenfolge an, während man die Elemente einer Menge in beliebiger Reihenfolge schreiben kann.

Die Kanten sind als Paare benachbarter Ecken definiert. Diese Paare sind als Mengen definiert. Es ist also ein ungerichteter Graph. Ecken sind benachbart, wenn sie sich in genau einer Koordinate unterscheiden.

Den 0-dimensionalen Würfel hast du korrekt hingeschrieben. Für höhere n kann man sich den Würfel aus Punkten (Ecken) und Strecken (Kanten) im bestehend vorstellen.

Der 1-dimensionale Würfel ist also einfach die Strecke zwischen 0 und 1 als Kante und deren Endpunkten als Ecken im . Die Ecken sind daher die 1-Tupel und . Die einzige Kante besteht aus diesem Eckenpaar . Die Eckenmenge ist die Menge aller Ecken und die Kantenmenge die Menge aller Kanten. Also:





Der 2-dimensionale Würfel ist ein Quadrat in der Ebene.





Er besteht also, wie es sich für ein Quadrat gehört, aus 4 Ecken und 4 Kanten. Der 3-dimensionale Würfel ist ein Würfel im . Jetzt solltest du kein Problem haben, seine Eckenmenge und Kantenmenge aufzuschreiben. Das geht dann für den 4-dimensionalen Würfel analog, nur ist es hier schon einige Schreibarbeit.
free.dom Auf diesen Beitrag antworten »

Oh man vielen, vielen Dank!!!

Da tut es mir ja schon fast Leid gefragt zu haben, denn irgendwie ist es doch recht trivial und ich hätte nur richtig hinschauen müssen.. Das macht in der Tat Sinn, die Knoten als Tupel zu schreiben. Dadurch ergibt es dann natürlich auch Sinn, dass sich Koordinaten unterscheiden können...

Sehr hilfreich ist auch nochmal die Anmerkung, dass aus einer Notation der Kanten als Menge geschlossen werden kann, dass der Graph ungerichtet ist. Das ist zwar logisch, war mir aber nicht unbedingt so bewusst klar.

Für n=3 wäre das also:

Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Passt!
 
 
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