Vorteile einer Differentialgleichung

11.07.2014, 18:08

_Aviciii_

Vorteile einer Differentialgleichung

Hi,

ich muss am Dienstag eine Mathe GFS über Wachstumsprozesse, die durch Differentialgleichungen beschrieben werden halten.
Ich bin gerade in das Thema eingestiegen, habe nun erstmal grundsätzliche Fragen:
"Was ist der Vorteil wenn ich ein Wachstum in Form von Differentialgleichung und nicht als Gleichung mit Verhältnissen von Variablen und Zahlen beschreibe?"
"Bzw was ist der Sinn dahinter?"

Ich habe schon eine Vermehrungsrate für das Wachstum von Hasen bei unbeschränktem Nahrungsangebot vorgegeben: x'=a*x(t). (A ist ein Korrekturfaktor.) und soll eine Funktion finden, die diese Differentialgleichung hier löst.

Außerdem soll das Anfangswertproblem gelöst werden, wenn für t=0 x0=2 gilt.

Wäre sehr, sehr nett wenn ihr mir bald antworten könntet smile

Vielen Dank!

12.07.2014, 02:03

Mathe-Maus

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RE: Vorteile einer Differentialgleichung
Aha, Du sollst also in 4 Tagen eine Präsententations-Prüfung ablegen und bist gerade "in das Thema eingestiegen".

Ohne Kenntnis der Originalaufgabenstellung kann Dir schwerlich geholfen werden.

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"Was ist der Vorteil wenn ich ein Wachstum in Form von Differentialgleichung und nicht als Gleichung mit Verhältnissen von Variablen und Zahlen beschreibe?"

Vorteil: Man kann für jeden beliebigen Zeitpunkt die Wachstumsrate angeben.
-----------
LG Mathe-Maus

12.07.2014, 03:19

Dopap

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solange die Funktion hier nicht bekannt ist, kann man nicht die Wachstumsrate zu jeder Zeit angeben. Es gibt aber DGL's wo das geht, z.B.

$\begin{eqnarray*} x'(t)=4-t \quad \land \quad x(1)=15 \end{eqnarray*}$ ( es steht ja direkt da ! )

Die DGL beschreibt das Wesen der gesuchten Funktion, hier die Tatsache, dass die Wachstumsgeschwindigkeit proportional zum Bestand ist, was kurzfristig für viele Prozesse zutrifft.

DGL's kann man auch durch probieren lösen. Nun welcher Funktionstyp könnte in Frage kommen, bei der die Ableitung im Wesentlichen der Funktion entspricht ??

12.07.2014, 12:31

_Aviciii_

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RE: Vorteile einer Differentialgleichung
Das Problem ist, dass ich eine Note ausgleichen möchte und darum kurzfristig die Gelegenheit einer zusätzlichen Präsentationsnote bekommen habe. Daher habe ich nur so wenig Zeit zur Vorbereitung.

Die Aufgabe besteht aus zwei Teilen:
1. (Hasenpopulation bei unbegrenztem Nahrungsangebot): Die Vermehrungsrate einer Hasenpopulation ist x'=a*x(t). x entspricht der Anzahl aktuell vorhandener Hasen und a ist der Korrekturfaktor im Bereich von a<1, da die Hasen nicht ununterbrochen mit Vermehrung beschäftigt sind.
"Finden Sie eine Funktion, die die oben genannte DGL und das Anfangswertproblem löst, wenn für t=0 x0=2 gilt.

2.(Hasenpopulation bei begrenztem Nahrungsangebot):
Die neue DGL lautet x'=a*x(t)*(K-x(t)). K-x beschreibt das noch zur Verfügung stehende Platzangebot.
"Finden Sie eine Funktion, die die DGL, sowie Anfangswertproblem löst, wenn K=100 ist und x0=2 bei t=0"

12.07.2014, 12:32

_Aviciii_

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Für die erste Aufgabe kommt ja e^x in Frage als Funktion.

12.07.2014, 12:34

_Aviciii_

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Könnte man also sagen, dass der Vorteil einer DGL ist, dass man hier flexibel gleich die Zeit t in der Gleichung mit "eingebaut" hat?

12.07.2014, 13:41

chrizke

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Zitat:

Original von _Aviciii_
Für die erste Aufgabe kommt ja e^x in Frage als Funktion.

Naja nicht ganz. Du musst noch den Faktor a mit einbeziehen und die Anfangsbedingung, dass für $\begin{eqnarray*} t=0 \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} x_0=2 \end{eqnarray*}$ gelten soll.

Ich würde hier auch nicht von $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ sondern eher von $\begin{eqnarray*} e^t \end{eqnarray*}$ sprechen.

Der 'Vorteil' von DGLs liegt für mich eher auf der Modellierungsseite. Du hast ein Problem, bei dem du Änderungsraten wie zB in der Hasenpopulation oder in der Position (also Geschwindigkeit) hast. Dieses kannst du dann mehr oder weniger direkt durch eine DGL ausdrücken und dann so die gewünschte Funktion herausfinden.

Bei den Hasen hast du ja schon so Problemstellungen, die sowas beschreiben wie: "Die Hasenpopulation verdoppelt sich jedes Jahr". Das kann man direkt aufschreiben als DGL und dann lösen. Diese Herangehensweise ist mMn wesentlich intuitiver als direkt den exponentiellen Zusammenhang zu erkennen. Wohlgemerkt, dass es sich hierbei um ein sehr einfaches Beispiel handelt. Andere Anwendungsfälle haben keine so 'einfache' Lösungsfunktion oder können manchmal auch gar nicht bestimmt werden. Dann muss man sich mit Näherungslösungen beschäftigen, aber das ist ein ganz anderes Thema.

12.07.2014, 14:12

_Aviciii_

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Kann man x'=a*x(t) durch Variation der Konstanten lösen?
Und wäre das dann eine homogene Gleichung?

12.07.2014, 16:07

_Aviciii_

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Ich habe jetzt mal einen Versuch gestartet, komme aber nicht zu einer gescheiten Lösung.

Also:
x'=a*x

1. Umschreiben zu: dx/dt=a*x

2. Trennung der Veränderlichen:
dx/x=a*dt

3. Integration mit Beachtung des Anfangswertproblemes:
$\begin{eqnarray*} \int_2^y \! \frac{dx}{t} \ = \int_0^T \! dt\cdot a \ \end{eqnarray*}$

4.Obergrenze-Untergrenze: ln(x)-ln(2)=a*T

5.x=2+ $\begin{eqnarray*} e^{a\cdot t} \end{eqnarray*}$

Wo hab ich hier was übersehen?

12.07.2014, 16:12

Mulder

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Du darfst nicht summandenweise "potenzieren"! Also wenn dann

$\begin{eqnarray*} \ln(x) - \ln(2) = aT \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x = e^{aT + \ln(2)} = e^{\ln(2)} \cdot e^{aT} = 2e^{aT} \end{eqnarray*}$

12.07.2014, 16:31

_Aviciii_

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sehr schön, danke smile

. Ist aber ansonsten richtig? Auch wegen Anfangswertproblem?

12.07.2014, 17:52

_Aviciii_

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Ich habe nun schon einmal mit der zweiten Aufgabe weitergemacht:

2.(Hasenpopulation bei begrenztem Nahrungsangebot):
Die neue DGL lautet $\begin{eqnarray*} x'=a*x(t)*(K-x(t)) \end{eqnarray*}$ . K-x beschreibt das noch zur Verfügung stehende Platzangebot.
"Finden Sie eine Funktion, die die DGL, sowie Anfangswertproblem löst, wenn K=100 ist und x0=2 bei t=0"

Mein Vorgehen bisher:

$\begin{eqnarray*} x'= a \cdot x (100-x) \frac{dx}{dt} =a \cdot x (100-x) \frac{dx}{dt}=a \cdot (100x-x^{2}) dx=a \cdot (100x-x^{2}) \cdot dt \frac{dx}{100x-x^{2} } = a \cdot dt \int_2^y \! \frac{dx}{100x-x^{2}} = \int_0^T \! a \cdot dt \end{eqnarray*}$

Wie komme ich hier weiter?

12.07.2014, 18:01

Mulder

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Integrieren kannst du das mittels Partialbruchzerlegung.

12.07.2014, 22:16

_Aviciii_

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Ok, jetzt zerlege ich das also in einen Partialbruch:

$\begin{eqnarray*} \frac{dx}{100x-x^{2} } (=) \frac{a\cdot x+b\cdot (100-x)}{x\cdot (100-x)} (=) \frac{a\cdot x+100b-bx}{x(100-x)} \end{eqnarray*}$

Mit dem Auflösen von a und b habe ich nun Schwierigkeiten.

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