Nochmals Grenzwert berechnen/beweisen

11.07.2014, 18:26	Stuhrmann	Auf diesen Beitrag antworten »
Nochmals Grenzwert berechnen/beweisen Meine Frage: Die Bestimmung des Grenzwertes von $\begin{eqnarray} \lim_{h \to 0}\frac{e^{h}-1}{h} \end{eqnarray}$ wurde gestern schon mit Hilfe der Potenzreihe bzw. mit l'Hospital gelöst. Vielen Dank nochmals. In der Literatur finde ich nun folgenden Beweis, den ich aber nicht ganz verstehe: Es gilt: $\begin{eqnarray} \lim_{n\to\infty } \left(1+\frac{1}{n} \right) ^{n} = e \end{eqnarray}$ . Wenn für den Grenzwert $\begin{eqnarray} {n \to \infty } \end{eqnarray}$ strebt, dann gilt für h sicherlich $\begin{eqnarray} h = \frac{1}{n} \end{eqnarray}$ und für $\begin{eqnarray} n = \frac{1}{h} \end{eqnarray}$ . Dann kann man das n durch h ersetzen und erhält folgendes: $\begin{eqnarray} \lim_{h \to 0} \left(1+\frac{1}{\frac{1}{h} } \right) ^{\frac{1}{h} } = e \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lim_{h \to 0} \left(1+h\right) ^{\frac{1}{h} } = e \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lim_{h \to 0} \left(1+h\right) = e^{h} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lim_{h\to 0} h = e^{h} -1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lim_{h \to 0} \frac{h}{h} = \frac{e^{h-1} }{h} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1 = \lim_{h \to 0}\frac{e^{h} -1}{h} \end{eqnarray}$ . Ich verstehe nicht, warum ich $\begin{eqnarray} h = \frac{1}{n} \end{eqnarray}$ setzen kann. Hier steht doch offensichtlich $\begin{eqnarray} 0 = \frac{1}{\infty} \end{eqnarray}$ . Ist solch eine Annahme zulässig? Meine Ideen: Ich habe beim beschriebenen Ansatz Verständnisprobleme. Kann mir jemand einen Tipp geben?
11.07.2014, 19:05	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich finde das problematisch. Wenn du $\begin{eqnarray} \lim_{h \to 0}\frac{e^{h}-1}{h} \end{eqnarray}$ bestimmst, ist das eigentlich nur die kurzfassung für folgendes: Für alle Folgen $\begin{eqnarray} (x_j)_j \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x_j\to 0 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} j\to\infty \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} \lim_{j\to\infty}\frac{e^{x_j}-1}{x_j}=1 \end{eqnarray}$ . Jetzt wird erstmal nur eine Folge betrachtet. Das geht soweit auch, das hier Monotonie vorliegt. Ist es denn wirklich so aufgeschrieben? Dann fehlen nämlich einige Limites. Außerdem stehen hier oft Ausdrücke der Form $\begin{eqnarray} \infty=\infty \end{eqnarray}$ , schöner wäre es dann soetwas wie $\begin{eqnarray} \|\left(1+\frac{1}{\frac{1}{h} } \right) ^{\frac{1}{h} } - e \| \end{eqnarray}$ für große $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ oder eben kleine $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ zu betrachten, ich weiß aber nicht ob es dann noch so gut aufgeht.
11.07.2014, 19:16	Stuhrmann	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist in der Tat so aufgeschrieben. Der Text stammt von einem Uni-Dozenten (Vorlesung, Mathematik für Physiker). Ich habe hier auch massive Bauchschmerzen.
11.07.2014, 19:21	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde es so niemals machen. Gerade bei diesem Beispiel, da finde ich schon fast L'Hospital zuviel des Guten, aber dieser Weg scheint mir doch nun wirklich viel zu abstrus.

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