Ist die Funktion bei f stetig/differenzierbar

11.07.2014, 21:24

Destu

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Ist die Funktion bei f stetig/differenzierbar

Meine Frage:
Hallo zusammen,
ich schreibe am Montag Mathe Zweitversuch und hänge gerade an einer vermeindlich simplen Aufgabe fest. (Ich bin eine absolute Mathe Niete!)

Meine Ideen:
Siehe Bild .. ich weiss, dass es ziemlich falsch sein muss :/

12.07.2014, 12:18

Che Netzer

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RE: Ist die Funktion bei f stetig/differenzierbar

Zitat:

Original von Destu
ich weiss, dass es ziemlich falsch sein muss :/

Tatsächlich. Und es hat auch nichts mit der Aufgabe zu tun.

Fangen wir mal bei de ersten beiden Zeilen/Kästchen an, die du zur a) geschrieben hast. Wenn du den Limes für " $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ von unten gegen Eins" bilden möchtest, sollte das etwas deutlicher sein. Benutzt ihr in der Veranstaltung wirklich diese seltsame Schreibweise mit dem "kleiner gleich" und dem Pfeil?
Jedenfalls solltest du das immer unter das Limes-Zeichen schreiben und auch $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ jeweils nur von einer Seite gegen Null gehen lassen.
Als nächstes hast du $\begin{eqnarray*} \sin(1) \end{eqnarray*}$ falsch in den Taschenrechner eingegeben – stattdessen hast du $\begin{eqnarray*} \sin(1^\circ) \end{eqnarray*}$ gebildet.

Und was am wichtigsten ist: Wozu machst du das ganze überhaupt? Der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{x\nearrow1}f(x) \end{eqnarray*}$ (je nach Schreibweise) ist für die Aufgabe vollkommen irrelevant.
Zur dritten Zeile: Hier ist die Limes-Schreibweise wieder unvollständig (was läuft wogegen?). Und auch wieder: Was soll das? Das hat nichts mit der Stetigkeit von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in Null zu tun.

In b) hast du wieder die Aufgab verfehlt. Du hast stattdessen versucht, die Ableitung außerhalb von Null zu bilden (und dort ist deine Ableitung übrigens falsch).
Wenn du dir deine Gleichung für $\begin{eqnarray*} f' \end{eqnarray*}$ mal ansiehst, wirst du aber feststellen, dass dort $\begin{eqnarray*} f'(0)=0 \end{eqnarray*}$ enthalten ist. Woher nimmst du das?
Deine Grenzwertbildung hat wieder nichts mit Differenzierbarkeit zu tun.
Tatsächlich musst du einfach nur die Definition des Differentialquotienten aufschreiben – die Werte $\begin{eqnarray*} f'(x) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\neq0 \end{eqnarray*}$ sind dabei völlig unwichtig; es kann dir sogar egal sein, ob die überhaupt existieren.

12.07.2014, 14:33

Destu

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Also erstmal Danke für die schnelle Antwort...

Oh man ...
Die Schreibweise mit dem x geht gegen hab ich meinem Abi- Trainer entnommen. Ebenso wie die Vorgehensweise, dass eine Stetigkeit dann gegeben ist, wenn die lim Rechnungen den gleichen Wert ergeben - die Rechnungen damals waren allerdings mit einfach Zahlen und nur X als Unbekannten.

D.h. aber ich hab hier völlig unnötig gehandelt, bräuchte so eine Rechnung (davon abgesehen dass sie falsch ist) nur für die Grenzwertbestimmung und muss zum Überprüfen der Stetigkeit dann lediglich was genau tun??

Und zu b): mein Problem ist das dieses Matheschreibweisen-Latein für mich Spanisch klingt ( oder besser gesagt noch deutlich schlimmer). Ich habe nur ein Semester Mathe, da mein Studiengang ansonsten nicht besonders Technisch ist. Aber deiner Aussage darüber kann ich dann entnehmen, dass ich sowas in der Art hier machen muss: Siehe Bild

12.07.2014, 14:48

Che Netzer

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Zitat:

Original von Destu
Die Schreibweise mit dem x geht gegen hab ich meinem Abi- Trainer entnommen.

Wie genau sah die Schreibweise denn aber überhaupt aus?

Zitat:

Ebenso wie die Vorgehensweise, dass eine Stetigkeit dann gegeben ist, wenn die lim Rechnungen den gleichen Wert ergeben

Aber welche "lim Rechnungen" (Grenzwerte)?
Eine Funktion ist stetig in $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ , falls ihr Wert $\begin{eqnarray*} f(x_0) \end{eqnarray*}$ mit einem gewissen Grenzwert übereinstimmt.

Zitat:

Aber deiner Aussage darüber kann ich dann entnehmen, dass ich sowas in der Art hier machen muss: Siehe Bild

Genau. Es geht ja nur um die Differenzierbarkeit bzw. die Ableitung in einer einzelnen Stelle $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ .

12.07.2014, 15:31

Destu

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Also hab mal eine Beispielaufgabe diesbezüglich aus meinem Mathe Trainer vom Fachabi übernommen (Bild)

bzgl. a) Stetigkeit

"Eine Funktion ist stetig in x_0, falls ihr Wert f(x_0) mit einem gewissen Grenzwert übereinstimmt."

- Dann muss ich ja doch den Grenzwert berechnen, oder nicht?

bzgl b)

Okay danke dir schonmal hierfür, damit komm ich weiter!

12.07.2014, 15:36

Che Netzer

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Zitat:

Original von Destu
- Dann muss ich ja doch den Grenzwert berechnen, oder nicht?

Ja. Aber welchen?

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12.07.2014, 16:17

Destu

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Den für x=0 ? Also einfach 0 anstatt dem x einsetzen??

Und wenn ja wie gehts dann weiter/ was sagt mir das Ergebnis dann?

12.07.2014, 16:36

Che Netzer

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Zitat:

Original von Destu
Den für x=0 ?

Das beschreibt keinen Grenzwert.
Du kannst ja mal ausfüllen: $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist genau dann stetig in $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ , wenn
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to?}?=f(x_0)\,. \end{eqnarray*}$

12.07.2014, 20:29

Destu

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Also so :

lim \frac{x³}{sin x²} = x0
x->0

==>

lim \frac{0³}{sin 0²} = 0
x->0

==>

0 = 0

=> Funktion ist stetig!

?

12.07.2014, 20:47

Che Netzer

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Zitat:

Original von Destu
Also so :

lim \frac{x³}{sin x²} = x0
x->0

Oder sauber: $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to0}\frac{x^3}{\sin(x^2)}=x_0 \end{eqnarray*}$ .
Wenn rechts $\begin{eqnarray*} f(x_0) \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ stünde (und wenn weiterhin $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ gilt), wäre dies tatsächlich die Bedingung, die für Stetigkeit in Null zu überprüfen wäre.

Zitat:

==>

Diese Implikation ist vollkommen nutzlos. Du möchtest die obige Gleichheit zeigen bzw. herleiten und nicht irgendetwas aus ihr folgern.

Zitat:

lim \frac{0³}{sin 0²} = 0
x->0

Das wiederum ergibt keinen Sinn. Es ist $\begin{eqnarray*} \sin(0)=0 \end{eqnarray*}$ , weswegen das nicht im Nenner stehen darf.

Zitat:

==>

0 = 0

Das ist wieder nutzlos. Dass $\begin{eqnarray*} 0=0 \end{eqnarray*}$ gilt, wussten wir vorher schon, das mussten wir nicht extra herleiten.

12.07.2014, 21:22

Destu

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Wie wäre die Stetigkeit denn dann ausgeschrieben richtig bewiesen?

12.07.2014, 21:33

Che Netzer

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Das rechne ich dir doch jetzt nicht einfach vor Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ein wesentlicher Schritt besteht jedenfalls in der Berechnung von $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to0}\frac{x^3}{\sin x^2} \end{eqnarray*}$ .

12.07.2014, 23:11

Destu

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...Und da ich die Stetigkeit bei x=0 überprüfe, muss ich einfach eine 0 einsetzen, falsch?

12.07.2014, 23:17

Che Netzer

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Falsch. Wenn man Grenzwert und Funktion vertauschen kann, wäre das bereits Stetigkeit.

Du wirst doch aber sicher noch andere Methoden, Grenzwerte zu bestimmen – außer Einsetzen.

13.07.2014, 00:15

Destu

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Ausklammern?

Ich tippe aber mal stark, dass ich mir die x² vom sin(x²) nicht einfach zum ausklammern klauen darf Augenzwinkern

Augenzwinkern

13.07.2014, 09:19

Che Netzer

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Natürlich nicht! geschockt

geschockt

Du hast demnach keine wirkliche Idee, wie du den Grenzwert
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to0}\frac{x^3}{\sin(x^2)} \end{eqnarray*}$
bestimmen könntest? Dann würde ich vorschlagen, dass du das Berechnen von Grenzwerten nochmal übst, bevor es um Stetigkeit und Differenzierbarkeit geht.

13.07.2014, 14:57

Destu

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Mein Mathe Zug ist abgefahren,

ich schreibe wie gesagt morgen früh Prüfung und muss irgendwie meine 4,0 schaffen (keine Sorge analysis ist meine schwäche ) ... ich hab also nicht wirklich zeit für große verständnis übungen, da aber alle hilfsmittel erlaubt sind und ich mir also eine musterlösung mitnehmen kann wäre ich dir sehr verbunden, wenn du mir kurz sagen könntest, wie das den nun richtig geht, damit ich eine Vorlage hab um diesen aufgabentyp ggf. bearbeiten zu können...

Du würdest mir damit unglaublich weiterhelfen :o

13.07.2014, 15:09

Che Netzer

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Dann solltest du dir eine bekannte und wichtige Formel für einen Grenzwert aufschreiben: Den für $\begin{eqnarray*} \frac{\sin y}y \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} y\to0 \end{eqnarray*}$ .

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