Kompaktheit in Folgenräumen

12.07.2014, 11:37

am121991

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Kompaktheit in Folgenräumen

Meine Frage:
Hallo,
ich würde gerne zeigen oder widerlegen, ob eine Menge beschränkt und kompakt ist.
Es handelt sich um folgende Menge:
$\begin{eqnarray*} E:=\left\{ {x\in l^1(\mathbb R ):|x_i|\leq \frac{1}{i} \forall i\in \mathbb N } \right\} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich dachte, dass diese Folgen von einer Majorante 1/n und einer Minorante -1/n beschränkt sind. Die beiden "Schranken" konvergieren dann ja gegen Null, sodass ich für jede Folge eine konvergente Teilfolge finde. Damit wäre die Menge für meine Ansicht kompakt, und daher auch beschränkt.
Ist das richtig so? Was meint ihr dazu?

12.07.2014, 12:30

Che Netzer

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RE: Kompaktheit in Folgenräumen

Zitat:

Original von am121991
$\begin{eqnarray*} E:=\left\{ {x\in l^1(\mathbb R ):|x_i|\leq \frac{1}{i} \forall i\in \mathbb N } \right\} \end{eqnarray*}$

Du meinst sicher $\begin{eqnarray*} \ell^1(\mathbb N) \end{eqnarray*}$ , nicht $\begin{eqnarray*} \ell^1(\mathbb R) \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Die beiden "Schranken" konvergieren dann ja gegen Null, sodass ich für jede Folge eine konvergente Teilfolge finde. Damit wäre die Menge für meine Ansicht kompakt, und daher auch beschränkt.

Da verstehst du den Raum $\begin{eqnarray*} \ell^1(\mathbb N) \end{eqnarray*}$ falsch.
Du müsstest für die Kompaktheit tatsächlich überprüfen, ob "jede Folge in $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ " eine konvergente Teilfolge hat. Mit einer "Folge in $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ " meint man aber eine "Folge von Elementen von $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ ". Und Elemente von $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ sind selbst wiederum Folgen.
Du sollst also nicht überprüfen, ob jedes Element von $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ als Folge aufgefasst eine konvergente Teilfolge besitzt, sondern ob jede Folge von Elementen von $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ eine konvergente Teilfolge [also wieder eine Folge von Elementen von $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ ] besitzt.

12.07.2014, 12:42

am121991

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Hallo, danke, okay, das klingt schwieriger.
Weißt du ob sie kompakt ist, also ob ich zeigen muss, dass sie kompakt ist oder dass sie nicht kompakt ist.
Das würde die Sache schonmal erheblich erleichtern...
:-)

12.07.2014, 13:24

Che Netzer

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Ich kann dir ja mal verraten, dass du $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ hier sowohl auf Kompaktheit als auch auf Beschränktheit [jeweils einzeln] untersuchen musst Augenzwinkern

Augenzwinkern

12.07.2014, 13:29

am121991

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Also, dass E beschränkt ist weiß ich schon.
Aber bei der Kompaktheit weiß ich echt nicht wie ich die zeigen/widerlegen soll, ich weiß ja nicht mal was von beiden...
Ich versuchs mir immer erst mal vorzustellen und in meiner Vorstellung wäre E schon auch kompakt, aber ich weiß leider nicht wie ich das zeigen kann, ich kann ja nicht jede Folge nehmen und ne konvergente Teilfolge suchen oder?

12.07.2014, 13:49

Che Netzer

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Zitat:

Original von am121991
ich weiß ja nicht mal was von beiden...

Dazu war ja der Hinweis gerade da.

Zitat:

Ich versuchs mir immer erst mal vorzustellen und in meiner Vorstellung wäre E schon auch kompakt

Das mit dem Vorstellen ist hier vermutlich keine gute Idee.

Zitat:

ich kann ja nicht jede Folge nehmen und ne konvergente Teilfolge suchen oder?

Im Prinzip schon. Wenn man die (Folgen-)Kompaktheit einer Menge zeigen will, wählt man eine ganz allgemeine Folge und konstruiert eine konvergente Teilfolge.
Wenn man Kompaktheit widerlegen will, genügt natürlich eine Folge ohne konvergente Teilfolge.

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12.07.2014, 14:30

am121991

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Solange ich auch überlege, ich finde keine Folge die keine konvergente Teilfolge hat. Aber deinen Beiträgen nach ist ja mein E nicht kompakt. So hab ich zumindest deine Kommentare verstanden? Kannst du mir noch einen Schupser in die richtige Richtung geben?

12.07.2014, 14:49

Che Netzer

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Ist denn die Folge $\begin{eqnarray*} \left(\frac1n\right)_n \end{eqnarray*}$ selbst in $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \ell_1(\mathbb N) \end{eqnarray*}$ enthalten?

12.07.2014, 14:59

am121991

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Ja aber die konvergiert doch auch oder sehe ich das falsch?

12.07.2014, 15:35

Che Netzer

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Dass die Folge selbst konvergiert, ist vollkommen irrelevant. Jedes Element von $\begin{eqnarray*} \ell_1(\mathbb N) \end{eqnarray*}$ muss als Folge in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ betrachtet konvergieren.

Die Frage war aber, ob die Folge $\begin{eqnarray*} (\tfrac1n) \end{eqnarray*}$ ein Element von $\begin{eqnarray*} \ell_1(\mathbb N) \end{eqnarray*}$ ist.

12.07.2014, 15:46

am121991

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In $\begin{eqnarray*} l^1 \end{eqnarray*}$ sind ja alle Folgen drin für die $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n|x_i|<\inf \end{eqnarray*}$ gilt. Also ist 1/n da nicht drin.
Was sagt mir das jetzt?

12.07.2014, 15:51

Che Netzer

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Das könnte eine Anregung geben, eine Folge von Elementen von $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ zu finden, welche keine konvergente Teilfolge hat. (denn $\begin{eqnarray*} (\tfrac1n) \end{eqnarray*}$ ist kein möglicher Grenzwert)

12.07.2014, 15:58

am121991

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Danke, dann hab ichs jetzt Wink

Wink

12.07.2014, 16:09

URL

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Zitat:

Also, dass E beschränkt ist weiß ich schon.

Wie hast du das gezeigt?

12.07.2014, 16:35

Che Netzer

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Und ich würde auch gerne noch die Folge sehen, die jetzt gewählt wurde. Mit der, die ich im Sinn hatte, wäre die Unbeschränktheit sofort als "Überraschung" mitgezeigt

12.07.2014, 16:42

URL

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dann passt das, bei mir nämlich auch Big Laugh

Big Laugh

12.07.2014, 16:55

am121991

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Ja, richtig ;-)
Noch eine Frage: wie siehts denn in l^2 aus?

12.07.2014, 17:00

Che Netzer

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Das ist dann wohl Aufgabenteil b)?
Was hast du denn für Ideen?

12.07.2014, 17:47

am121991

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Es ist beides keine Aufgabe die ich machen muss, sonder von denen ich gerne die Lösungen wissen würde :-)
Also in dem Fall l^2 ist jetzt meine Menge tatsächlich beschränkt.
Zur Kompaktheit ist es wieder schwierig... ich weiß nicht, ob $\begin{eqnarray*} (\sum|1/n|^2)^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$ kleiner als Unendlich ist...
Und ich hab prinzipiell immer nicht so die zündenden Ideen, welche Folgen man nehmen könnte um eine zu finden bei ders nicht klappt. Oder vielleicht klappt es in dem Fall ja auch, dann könnte ich gleich sehen, wie man zu einer allgemeinen Folge eine konvergente Teilfolge findet. ;-)

12.07.2014, 17:57

Che Netzer

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Zitat:

Original von am121991
Also in dem Fall l^2 ist jetzt meine Menge tatsächlich beschränkt.

Wie hast du das denn gezeigt?

12.07.2014, 17:59

Leopold

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@ Che Netzer

Zitat:

Original von Che Netzer
Jedes Element von $\begin{eqnarray*} \ell_1(\mathbb N) \end{eqnarray*}$ muss als Folge in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ betrachtet konvergieren.

Eben. Es geht um Folgen in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ . Ich verstehe hier irgendwie das $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ nicht.

12.07.2014, 18:06

am121991

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Das habe ich noch nicht gezeigt, aber das hatten wir mal als beispiel in der Vorlesung...

12.07.2014, 18:18

Che Netzer

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Zitat:

Original von am121991
Das habe ich noch nicht gezeigt, aber das hatten wir mal als beispiel in der Vorlesung...

Und habt ihr es dort gezeigt oder nur behauptet?
Vielleicht wäre es sinnvoller, bei dieser simpleren Eigenschaft zu beginnen, bevor es um Kompaktheit geht. Du könntest z.B. ein Element $\begin{eqnarray*} x\in\ell^2(\mathbb N) \end{eqnarray*}$ finden, so dass $\begin{eqnarray*} \lVert y\rVert\leq\lVert x\rVert \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} y\in E \end{eqnarray*}$ (für analoge Definition von $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ ).

@Leopold: Hm, für mich wäre zunächst $\begin{eqnarray*} \ell_1(X) \end{eqnarray*}$ der Raum der summierbaren Abbildungen $\begin{eqnarray*} X\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ . Da vom Fragesteller kein Einwand mehr kam, ging ich mal davon aus, dass es tatsächlich so gemeint war.

12.07.2014, 18:25

Leopold

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Im übrigen scheint der Fragesteller sich gerade auch andern Orts zu erkundigen.

12.07.2014, 18:31

am121991

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Richtig, das tue ich.
Ich finde es nicht verwerflich mir von mehreren Leuten helfen zu lassen.
(Im Übrigen wirst du dich wohl auch wo anders erkundigt haben, wenn du das weißt.)
In meiner Aufgabe stand soweit ich weiß l^2(R), kann aber auch sein, dass ich mich irre...

Zurück zum Thema: Wir haben es nicht gezeigt sondern nur behauptet. Und schon wieder weiß ich nicht, wie ich so eine Folge einfach so aus dem Nichts herzaubern soll...

12.07.2014, 18:59

Che Netzer

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Zitat:

Original von am121991
Richtig, das tue ich.
Ich finde es nicht verwerflich mir von mehreren Leuten helfen zu lassen.

Und was soll dann die Behauptung
"Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt."
im anderen Forum? verwirrt

verwirrt

12.07.2014, 22:51

am121991

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Tja, ohne das zu schreiben konnte ich nix schreiben.

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