Spatprodukt - Volumen eines Parallelepipeds

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Manko Auf diesen Beitrag antworten »
Spatprodukt - Volumen eines Parallelepipeds
Edit (mY+): Titel gekürzt. Bitte schreibe keine Romane dorthin, die Fragen gehören in den Text, die Überschrift soll nur den Inhalt des Themas bezeichnen.

Ich habe irgendwie ein Problem mit der heraushebung dieses mathematischen Objektes
|(A x B) C| wobei A B und C Vektoren im R³ sind und das Objekt als Spatprodukt definiert ist.

Konkret sehe ich nicht ein wieso alle Mathematiker sagen, dass das Spatprodukt das Volumen des Epipeds hat. Denn nicht nur das ist der Fall, sondern auch das Volumen des Parallelgramms mit einer Höhe von |C| * cos(alpha) welches dann das exakt selbe Volumen ergäbe von:
|A x B| * |C| * cos(alpha).
Konkret meine ich damit das Beispiel in der Skizze. Beide Ansichten sind im Seitenriss dargestellt und der Vektor C ist nicht parallel mit der z Achse sondern kann abweichen. Möglich sind theoretisch (meiner Meinung nach) unendlich viele ANrodnungen von Parallelepipeden da ja das Volumen immer gleich bleibt. Wieso zeichnet man aber immer in zb solchen Skizzen:

mathinsight.org/media/image/image/volume_parallelepiped.png

IMMER den Vektor c als Grund für das Parallelepipeds ein? Wieso stimmt meine AUssage nicht? Beide Volumina sind gleich...
Dukaros Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wieso sagt man das Spatprodukt hat das Volumen eines Parallelepepids und nicht das volumen eines
Zitat aus Wiki:

"Unter einem Parallelepiped (von griechisch µÀ¯Àµ´¿½ epipedon „Fläche“; Synonyme: Spat, Parallelflach, Parallelotop) versteht man einen geometrischen Körper, der von sechs paarweise kongruenten (deckungsgleichen) in parallelen Ebenen liegenden Parallelogrammen begrenzt wird."

Das ist das gleiche wie Quader und Viereck .. ein Quader besteht aus Vierecken und ist nicht 2 Dimensional, sondern 3 Dimensional

Im übrigen hat ein Parallelogramm kein Volumen sondern nur eine Fläche
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Spatprodukt - Volumen eines Parallelepepids
Zitat:
Original von Manko
...
|A x B| * |C| * cos(alpha).
...

Dass dies ein Volumen ist, wirst du wahrscheinlich leicht einsehen (|A x B| entspricht der Fläche des Parallelogrammes).
Und andererseits ist dies definitionsgemäß genau gleich dem skalaren Produkt des Vektors A x B und dem Vektor C, welches dann einfach als Spatprodukt bezeichnet wird.

mY+
Manko Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meinte die Frage eigentlich ganz anders. Die Frage lautet: Wieso muss das Ergebnis das braune Volumen sein? Das Grüne hat nämlich das selbe Volumen...
Und dies gilt für jedes Parallelgramm, nicht nur Quadrate als Grundfläche...
Manko Auf diesen Beitrag antworten »

Bitte beachtet: Das grüne und das braune Objekt haben die selbe Höhe.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

In der letzten Zeile rechnest du syntaxmäßig falsch.
Denn das Ergebnis einer skalaren Multiplikation - wie es auch das Spatprodukt immer ist (!) - kann nicht ein Vektor sein, also ist es hier nur 16 (VE).

Bei der Volumenberechnung ist es übrigens egal, ob die Grundfläche ein Quadrat oder Parallelogramm ist und überdies kannst du alle drei Möglichkeiten für eine Grundfläche nehmen, das Volumen (= der Betrag des Spatproduktes) wird immer gleich sein.

|(a x b).c| = |(a x c).b| = |(b x c).a|

mY+
 
 
Manko Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Denn das Ergebnis einer skalaren Multiplikation - wie es auch das Spatprodukt immer ist (!) - kann nicht ein Vektor sein, also ist es hier nur 16 (VE).

Eigentlich sollte da stehen ez in ez. Und das ist natürlich 1. Das zweite wurde da abgeschnitten beim bearbeiten, sry.

Zitat:
Bei der Volumenberechnung ist es übrigens egal, ob die Grundfläche ein Quadrat oder Parallelogramm ist und überdies kannst du alle drei Möglichkeiten für eine Grundfläche nehmen, das Volumen (= der Betrag des Spatproduktes) wird immer gleich sein.

Genau. Somit habe ich recht oder? Aber wieso nennt man es dann unbedingt Spat - ...?
Unter Wikipedia wird psotuliert:
"Das Parallelepiped ist ein spezielles (schiefes) Prisma mit einem Parallelogramm als Grundfläche."

Jedoch muss bei diesem Produkt nicht unbedingt das Volumen eines Spats (welches ein schiefes Prisma ist) genommen werden sondern es kann auch das Volumen des geraden Prismas selbst in Frage kommen. Meiner Meinung ist demnach die Bezeichnung Spat-Produkt nicht zutreffend...

Das irritiert mich weil es sagt mir, dass ich irgendwas noch nicht ganz richtig sehe. Was sagt ihr dazu?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke, du siehst Probleme, wo keine sind. Nimm doch die Definitionen (sie stehen in Wiki und wurden schon erwähnt) einfach zur Kenntnis.
Anstatt Spat kannst du ja auch Parallelepiped, schiefes Prisma oder Parallelflach sagen, wenn dir das Wort Spat nicht treffend genug erscheint.

Die Parallelogramme, die den Spat begrenzen, können durchaus auch Rechtecke sein. Das ändert nichts daran. Dieses besonderen Gebilde nennt man dann eben Quader.

Die gegenständliche Rechenoperation mit den 3 Vektoren wird deswegen als Spatprodukt bezeichnet, weil sie immer das Volumen des von den Vektoren erzeugten Spates / schiefen vierseitigen Prismas / Parallelepipeds / .. liefert.
Das halbe Spatprodukt ist gleich dem Volumen des entsprechenden schiefen dreiseitigen Prismas.

mY+
Manko Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Spates / schiefen vierseitigen Prismas / Parallelepipeds /

Und ich bin der Meinung dass es kein schiefes Prisma sein muss. Sondern es kann auch kein schiefes Prisma sein. Ich multipliziere schließlich das Parallelgramm mit einer bestimmten Höhe. Wieso sollte da ein schiefes Prisma rauskommen? Es kann auch ein normales Prisma rauskommen...
Beide haben das selbe Volumen.
Deshalb tue ich mir so schwer, denn laut Wikipedia kann es nur das Volumen des schiefen Prismas sein und daher wird es auch Spat-Produkt genannt.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Parallelepiped (Spat) wird von sechs Parallelogrammen, je zwei gegenüberliegende sind kongruent, begrenzt. Man kann ein Parallelepiped auch als Prisma mit einem Parallelogramm als Grundfläche ansehen.
Und für jedes Parallelepiped berechnet der Betrag des Spatprodukts das Volumen. Da ein Quader ein spezielles Parallelepiped ist (nämlich ein gerades Prisma mit rechteckiger Grundfläche), stimmt die Volumenformel natürlich auch beim Quader. Das ist immer so in der Mathematik: Was im allgemeinen Fall gilt, gilt auch bei Spezialisierung.
Wo ist das Problem?

Niemand sagt übrigens, daß ein Parallelepiped ein schiefes Prisma sein muß. Und wenn das in Wikipedia irgendwo steht, dann ist das falsch.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Manko
...
.. denn laut Wikipedia kann es nur das Volumen des schiefen Prismas sein und daher wird es auch Spat-Produkt genannt.


Nirgends steht das so, dass ausschließlich schiefe Prismen zu betrachten sind.
Aber in Millionen Fällen wird es immer ein schiefes Prisma sein und (zufällig) in einem einzigen Fall ein gerades oder sogar ein Quader / Würfel. Es ändert sich jedoch nichts. Volumen bleibt Volumen. Denn die Höhe ist immer eine Projektion der schiefen Seitenkanten auf die Normale zur Basisebene und nur im Falle des geraden Prismas eine direkte Seitenkante.
Warum soll dann die Bezeichnung "Spatprodukt" nicht zutreffend sein?
Auch der Quader oder Würfel kann im weitesten Sinne als Spat bezeichnet werden.

Übrigens wird NICHT "das Parallelogramm" mit einer bestimmten Höhe multipliziert, sondern desse Fläche.
Manko Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Aber in Millionen Fällen wird es immer ein schiefes Prisma sein und (zufällig) in einem einzigen Fall ein gerades oder sogar ein Quader / Würfel.

Das kann ich irgendwie nicht nachvollziehen. Denn auch wenn der Vektor c nicht in richtung von b x a ist kann ich auch das Volumen des geraden prismas betrachten, sowie ich es doch eingezeichnet habe. Bei meiner Zeichnung ist das c auch nicht in Richtung ez und trotzdem kann ich das Volumen eines geraden prismas und zwar mit der selben Grundfläche b x a beschreiben. Das ist das GRÜNE.
Gleichzeitig kann ich aber auch wie in Wikipedia das schirfe Prisma, also das BRAUNE betrachten.

Das ist ja meine schwierigkeit. Denn beide Volumina sowohl des GRÜNEN als auch des BRAUNEN sind gleich und damit kommen auch beide Beschreibungsformen in Frage.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Schwierigkeit scheint ein geometrisches Verständnisproblem zu sein:
Ein schiefes Prisma kann man immer parallel zur Grundfläche so "scheren", dass eine Seitenkanten mit der Höhe zusammenfällt.
Dessen Volumen verändert sich dabei nicht.
Dennoch geht man beim Spatprodukt stets vom allgemeinen Fall des schiefen Prismas aus.

mY+
Manko Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Dennoch geht man beim Spatprodukt stets vom allgemeinen Fall des schiefen Prismas aus.

Eigentlich nur weil eben der Vektor c dann halt schief ist. Deshalb. Also man hat sich halt darauf geeinigt, dass man eben grad das Volumen des schiefen Prismas nimmt.
Ok, damit kann ich leben.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Misch ich mich auch mal in diese Quatschdiskussion ein.

Was stört dich eigentlich? Dass bei wikipedia ein schiefes Prisma dargestellt ist und du gerne ein senkrecht stehendes hättest, oder was? Du scheinst nicht zu verstehen, dass die Formel für den allgemeinsten Fall gilt, und der allgemeinste Fall ist nun mal der, bei dem keine zwei der drei Vektoren senkrecht aufeinander stehen. Alle anderen Fälle (nur 2 Vektoren orthogonal, paarweise jeweils 2 Vektoren orthogonal, 3 Vektoren orthogonal) sind Spezialfälle, die natürlich dann auch mit derselben Formel berechnet werden können. Deswegen stellt man auch kein senkrechtes Prisma oder eins mit quadratischer Grundfläche oder sogar einen Quader dar, sondern ein schiefes Prisma. Ein Name dafür ist nun mal Spat oder wenn dir das besser gefällt, Parallelepiped oder Parallelflach oder Parallelotop (obwohl ich die letzten beiden noch nie gehört habe, aber jeder soll mit seinem Wort glücklich werden). Deswegen hat man die Formel für das Volumen eines Spates halt Spatprodukt genannt. Du kannst es natürlich gerne Parallelotopprodukt nennen, auf die Gefahr hin, dass dich niemand mehr versteht.

Ich stelle das mal mit Hilfe der Aussagenlogik dar:
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt ist eigentlich mal Manko dran.

@ Manko

Nenne uns einen Spat, bei dem das Spatprodukt das Volumen nicht korrekt berechnet. Sobald du ihn gefunden hast, meldest du dich hier. Ich bin der erste, der dann beantragen wird, den Begriff "Spatprodukt" zu streichen.
(Ich weiß natürlich, daß du diesen Spat niemals finden wirst, bleibe also ganz gelassen und harre weiter der Dinge, die da von dir kommen.)
Manko Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Nenne uns einen Spat, bei dem das Spatprodukt das Volumen nicht korrekt berechnet.

Das gibt es nicht. Und das weiß ich. Und ich weiß auch dass das Volumen dem des Parallelepipeds entspricht. Das ist alles schon längst klar.

Mir war einzig und allein die Tatsache nicht klar, warum man es Spat nennt wenn doch für ein und dieselbe Rechnung gleich UNENDLICH VIELE Volumina mit der exakt selben Grundfläche (egal ob Quadrat oder Recht eck oder Parallelogramm) in Frage kommen. Und das habe ich mit miener aller ersten Skizze dargestellt. Es ist egal ob ich das schiefe Prisma damit beschreibe oder aber ein anderes (mit der selben höhe und Grundfläche) um einige Einheiten verschobenes Prisma. Das Volumina welches durch (b x a) c ist IMMER gleich. Bei JEDEM geometrischen Objekt dass ich mit der selben Grundfläche und Höhe.

Ich verstehe nicht wieso meine Frage so schwierig zu verstehen ist??
Ich muss mich offenbar irgendwo geirrt haben denn alle sind dagegen. Aber wo?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Es bestreitet niemand, dass es bei der Volumenberchnung nur auf die Höhe des 3. Vektors über der Grundfläche ankommt, die von den beiden anderen Vektoren gebildet wird. Es geht bei der Darstellung aber nicht um diesen einen speziellen Spat, das senkrechte Prisma, sondern um einen ganz allgemeinen Spat und dann stellt man natürlich auch so einen ganz allgemeinen Spat dar. Nicht dein spezielles senkrechtes Prisma. Was ist denn bitte daran so schwer zu verstehen?
Manko Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Nicht dein spezielles senkrechtes Prisma. Was ist denn bitte daran so schwer zu verstehen?

Eigentlich eh nichts. Aber als ich mir das Spatprodukt das allererste mal überlegt habe, bin ich halt nicht draufgekommen wieso das ganze SPat heißen sollte. Ich mein ja. Es ist schon richtig. Aber es gibt keinen Grund es so zu veralgemeinern. Es ist einfach nur ein Dreierprodukt wo einfach verschiedene Volumina damit gemeint sein könnten. Da kommt man doch nicht gleich auf die Idee das ganze SPat zu nennen. Ich zumindest nicht.

Aber jetzt ist es wohl geklärt.

Danke
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Manko
Es ist egal ob ich das schiefe Prisma damit beschreibe oder aber ein anderes (mit der selben höhe und Grundfläche) um einige Einheiten verschobenes Prisma. Das Volumina welches durch (b x a) c ist IMMER gleich. Bei JEDEM geometrischen Objekt dass ich mit der selben Grundfläche und Höhe.

Was du hier beschreibst, sind alles Spate.
Und deswegen gilt die Formel des Spatprodukts für die Volumina.

Der Begriff des Spats hat mit Schiefe oder Nicht-Schiefe einfach nichts zu tun. Obwohl ich das schon in meinem ersten Beitrag gesagt habe:
Zitat:
Original von Leopold
Ein Parallelepiped (Spat) wird von sechs Parallelogrammen, je zwei gegenüberliegende sind kongruent, begrenzt. Man kann ein Parallelepiped auch als Prisma mit einem Parallelogramm als Grundfläche ansehen.
Und für jedes Parallelepiped berechnet der Betrag des Spatprodukts das Volumen. Da ein Quader ein spezielles Parallelepiped ist (nämlich ein gerades Prisma mit rechteckiger Grundfläche), stimmt die Volumenformel natürlich auch beim Quader. Das ist immer so in der Mathematik: Was im allgemeinen Fall gilt, gilt auch bei Spezialisierung.
Wo ist das Problem?

Niemand sagt übrigens, daß ein Parallelepiped ein schiefes Prisma sein muß. Und wenn das in Wikipedia irgendwo steht, dann ist das falsch.

ignorierst du das beharrlich. Ich weiß nicht, warum du bei deiner Vorstellung bleibst. Niemand hat jemals behauptet, daß ein Spat schief sein muß. Außer dir ...
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Manko
Zitat:
Nicht dein spezielles senkrechtes Prisma. Was ist denn bitte daran so schwer zu verstehen?

Eigentlich eh nichts. Aber als ich mir das Spatprodukt das allererste mal überlegt habe, bin ich halt nicht draufgekommen wieso das ganze SPat heißen sollte. Ich mein ja. Es ist schon richtig. Aber es gibt keinen Grund es so zu veralgemeinern. Es ist einfach nur ein Dreierprodukt wo einfach verschiedene Volumina damit gemeint sein könnten. Da kommt man doch nicht gleich auf die Idee das ganze SPat zu nennen. Ich zumindest nicht.

Aber jetzt ist es wohl geklärt.


Keine Ahnung, was eigentlich deine Intentionen bei der ganzen Diskussion sind. Wie ein Objekt genannt wird, hat doch keine mathematische Bedeutung. Ob das jetzt Spat genannt wird oder nicht. Das ist nun mal sein Name. Du kannst ja mal ethymologische Forschung betreiben, woher das Wort kommt. Der Begriff "Dreierprodukt" bezeichnet wiederum was ganz anderes. Vielleicht solltest du dich einfach mal fitter in der deutschen Sprache machen.
Manko Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Der Begriff "Dreierprodukt" bezeichnet wiederum was ganz anderes.


Es gibt viele Mathematiker die das Dreierprodukt so definieren. Ein Kreuzprodukt und ein Inprodukt sind insgesamt 2 Produkte. Dazwischen sind 3 Vektoren. Daher 3er Produkt. Selbiges gilt auch für A x B x C.
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