Divergenzssatz und Satz von Green

Neue Frage »

12.07.2014, 21:44	DeltaX	Auf diesen Beitrag antworten »
Divergenzssatz und Satz von Green Hallo und guten Abend Ich befasse mich zur Zeit mit einer relativ umfassenden Aufgabe, die ich so leider noch nicht hatte: Wir sollen den Divergenzssatz von Gauß und den Satz von Green mit folgenden Gegebenheiten verifizieren: $\begin{eqnarray} B=\{ \vec x \in \mathbb R^2; y-x\leq 1, x^2+y^2 \leq 1, x^2-y \leq 1 \} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \vec v( \vec x)= (xy+x,~ y^2)^T \end{eqnarray}$ Sowohl der Satz von Green mit der Rotation von v, wie auch der Satz von Gauß mit der Divergenz von v sind mir bekannt. Mein Problem ist eigentlich nur die Parametriesierung von $\begin{eqnarray} \partial B \end{eqnarray}$ , die ja für beide Sätze benötigt wird. Die Fläche B habe ich mir bei Wolfram mal drucken lassen und ich fand sie jetzt nicht wirklich einfach. Ich hätte also lieber einen Tipp, wie man an die Parametriesierung heran geht, ohne das jemand Ergebnisse vorgibt bitte. Bei Polarkoordinaten benötige ich nämlich noch den "Klick"-Moment. Was ich weiß ist, wie x, y in Polarkoorinaten geschrieben sind, also in abhängigkeit von phi. Der Radius ist mir dementsprechend auch klar. Mein Ansatz: Zunächst möchte ich ja die Parametriesierung hinbekommen. Hilft mir hier das Substituieren von x und y durch rcos(phi) bzw. r sin(phi), um die Menge B in eine Trafo-Menge zu vernwandeln, bei denen ich die Grenzen ablesen kann? Dankeschön schonmal für alle Antworten!
13.07.2014, 17:16	DeltaX	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich habe jetzt nochmal in Büchern gelesen, es scheint keinen direkten (immer funktionierenden) Ansatz für die Transformation zu geben, hat hier jemand einen Tipp für mich? Danke
13.07.2014, 17:50	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein Bereich ist durch Ungleichungen beschrieben. Sein Rand wird dann im Wesentlichen durch die Gleichungen beschrieben. Im zweiten Quadraten etwa durch $\begin{eqnarray} y-x=1, -1\leq x\leq 0 \end{eqnarray}$ Eine Skizze hilft, dafür braucht man kein wolframalpha
13.07.2014, 18:03	DeltaX	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, Vielen Dank für deine Antwort! Ich habe gestern(und heute) leider nicht bedacht, dass der Rand durch die Gleichungen anstatt der Ungleichungen beschrieben wird, die Menge habe ich mir jetzt Farbig auf ein Papier gemalt. Ich erkenne, dass ich die Menge B ja eigentlich unterteilen kann(?): • Ein Dreieck mit den Eckpunkten (-1,0),(0,0),(1,0) • Eine Parabel, bei der x von -1 bis eins geht und y von x² bis 0 (habe es zu einen Typ I Normalbereich gemacht). • Und einem Kreis bei dem x von 0 bis 1 geht und die y-Komp. von y=0 bis $\begin{eqnarray} y=\sqrt{1-x^2} \end{eqnarray}$ Richtig?
13.07.2014, 18:15	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Beim letzten Eckpunkt des Dreiecks sind die Koordinaten vertauscht. Die y-Werte der Parabel kann ich nicht nachvollziehen. Und was ist ein Typ I Normalbereich?
13.07.2014, 18:20	DeltaX	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry da hab ich mich wohl vertippt, danke. Naja das ist doch ein Normalbereich, der oben und unten von Funktionen y(x) begrenzt wird und rechts und links "Zahlengrenzen" hat, oder nicht? Die Parabelfläche wird nach unten hin ja von der Parabel x²-1 begrenz und oben von der Geraden y=0. Die x-Werte Begrenzen die Fläche mit -1<=x<=1 oder nicht? Edit:// ich hatte oben den Scheitelpunkt der Parabel vergessen, kann sein dass es deswegen falsch war
Anzeige

13.07.2014, 18:30	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Keine Ahnung, ob man das einen Typ I Normalbereich nennt Bei der Parabel stand "y von x² bis 0" und das war falsch. Wenn du das mit fehlendem Scheitelpunkt meinst, soll's mir recht sein.
13.07.2014, 18:32	DeltaX	Auf diesen Beitrag antworten »
Jap das meinte ich, da ich nun ja die Sätze von Gauß und Green Verifizieren soll, muss ich ja den Rand von B parametriesieren. Ist es hier möglich eine Gesamt-Parametrisierung durchzuführen? Einen Kreis haben wir schonmal parametrisiert, aber einen viertelkreis, bzw. ein Dreieck noch nie, da weiß ich nämlich nicht wir man mit einer Variablen t "einmal das Dreieck" abläuft ..
13.07.2014, 18:37	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst nur den Rand von B parametrisieren, nicht irgendwelche artifiziellen Ränder, die durch deine Zerlegung des Gebietes entstanden sind. Z.B wird das Dreieck gar nicht ganz abgelaufen sondern nur die Kante zwischen (0,1) und (-1,0) Der Rand von B zerfällt in natürlicher Weise in drei Teile. Jeden davon darf man für sich parametrisieren. Parametrisierung eines Viertelkreises unterscheidet sich nur in der Wahl des Parameterbereiches. Im Grunde hast du das alles in deinen vorigen Posts schon erledigt.
13.07.2014, 18:45	DeltaX	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh danke, das war mir echt neu, also kann ich: • Die "Dreieckkante" durch die Gerade $\begin{eqnarray} \vec w_1= (t-1,t)^T, 0\leq t \leq 1 \end{eqnarray}$ , • Den Kreis (Viertelkreis) durch $\begin{eqnarray} \vec w_2= (cos(t),sin(t))^T, 0 \leq t \leq \frac \pi 2 \end{eqnarray}$ • und die Parabel durch $\begin{eqnarray} \vec w_3 = (t,t^2-1)^T,~ -1 \leq t \leq 1 \end{eqnarray}$ parametriesieren? Und die Anderen Integrale rechne ich mit den zuerst genannten Grenzen aus (das, zudem ich vorhin Normalbereiche gesagt habe ) Geht das so? Und danke schon/nochmal für die Antwort!!
13.07.2014, 18:48	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Grundsätzlich ja, allerdings bei der Parametrisierung des Randes die Orientierung nicht vergessen!
13.07.2014, 18:50	DeltaX	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt, also muss ich beim "Dreieck" die Grenzen von t umkehren, richtig? Edit:// Der Kreis lässt B "links liegen" und die Parabel auch; wenn die Grenzen des Dreiecks andersrum gewählt werden, liegt auch da B links.
13.07.2014, 18:54	URL	Auf diesen Beitrag antworten »

13.07.2014, 18:57	DeltaX	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, eine letzte Frage noch (sonst fällt mir zur Zeit ( ) nicht mehr ein.): Ich werde die ganzen Integrale jetzt einzeln mit den Rändern ausrechen und sie am Ende zusammenfassen. Beim divergenz Integral muss ich noch den Normalenvektor für die jeweiligen Ränder finden, dass versuche ich nachher nach dem Essen mal. Und das Rotationsintegral berechne ich über die Normalbereiche. Das "einzelne Ausrechnen und am Ende zusammenrechnen" ist hier ein möglicher weg oder?
13.07.2014, 19:02	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das ist möglich
13.07.2014, 21:04	DeltaX	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe jetzt mal die Dreiecksfläche ausgerechnet, also einmal $\begin{eqnarray} \int _{-1}^0 \int _0 ^{x+1} -x dy dx= \frac 16 \end{eqnarray}$ ausgerechnet (da die rotation von v =-x ist). Dann habe ich es mit dem Satz von Green gerechnet: Mit der Parametrisierung von oben: Habe also die t-Parametrisierung für x und y in den Komponenten von v eingesetzt. Die Ableitung von w1 ist (1,1). Demnach erhalte ich: $\begin{eqnarray} \int _1 ^0 t^2-1+t^2 dt = \frac 1 3 \end{eqnarray}$ Sollte nicht hier schon das gleich herauskommen?
13.07.2014, 22:02	DeltaX	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe jetzt auch die anderen Integrale mit dem Green ausgerechnet. Ich nenne nun mal die Ergebnisse und zwar so, dass zuerst das Integral über B kommt und hinten dran das Ergebnis für das Ergebnis mithilfe des Randes: 1. Dreieck -5/6, 1/3 2. Parabel 0, 0 3. Viertelkreis -1/3, 1/2 Ich finde nun wirklich keinen Fehler, habe bis auf die Parabel Integrale alle mind. 2x gerechnet...
14.07.2014, 00:21	DeltaX	Auf diesen Beitrag antworten »
ich habe bei dem -5/6 noch die Subtraktion vergessen, werde also lieber morgen weiter machen, dann finde ich vielleicht mehr Fehler. Gute Nacht!

Neue Frage »

Antworten »

Divergenzssatz und Satz von Green

Verwandte Themen