Erwartungstreue eines Schätzers

13.07.2014, 09:23	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Erwartungstreue eines Schätzers Meine Frage: Hallo Leute, ich habe eine Frage zu erwartungstreue von Schätzern. Ich habe bei der $\begin{eqnarray} Exp(\theta) \end{eqnarray}$ Verteilung für $\begin{eqnarray} \theta \end{eqnarray}$ den Schätzer $\begin{eqnarray} \hat{\theta} = \frac{1}{\overline X} \end{eqnarray}$ Jetzt habe ich in einer Lösung gesehen, dass folgendes gemacht wurde: $\begin{eqnarray} \mathbb E (\hat{\theta}) = \mathbb E ( \frac{1}{\overline X}) = \frac{1}{\mathbb E (\overline X)} = \frac{1}{\frac{1}{\theta}} = \theta \end{eqnarray}$ Jetzt habe ich nicht gewusst, dass man den $\begin{eqnarray} \mathbb E \end{eqnarray}$ Wert einfach in den Nenner ziehen darf, oder haben es sich die Herren aus der Lösung hier zu einfach gemacht? Wie kann ich diesen Schritt begründen? Natürlich sind alle Voraussetzungen gegeben (iid Zufallsvariablen) Meine Ideen: Vielen Dank, für die Hilfe
13.07.2014, 10:10	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Herren haben es sich zu einfach gemacht - die Rechnung ist falsch. Tatsächlich gilt mit $\begin{align} \bar{X} = \frac{1}{n}S_n \end{align}$ und erlangverteilten $\begin{align} S_n \end{align}$ für $\begin{align} n>1 \end{align}$ : $\begin{align} E(\hat{\theta}) = E\left( \frac{n}{S_n} \right) = \int\limits_0^{\infty} \frac{n}{x}\cdot \frac{\theta^n x^{n-1}}{(n-1)!} e^{-\theta x} ~ \dd x = \int\limits_0^{\infty} \frac{n}{n-1}\theta \cdot \frac{\theta^{n-1} x^{n-2}}{(n-2)!} e^{-\theta x} ~ \dd x = \frac{n}{n-1}\theta \end{align}$ . Für $\begin{align} n=1 \end{align}$ existiert der Erwartungswert gar nicht (d.h. Wert $\begin{align} \infty \end{align}$ ), und für $\begin{align} n\to \infty \end{align}$ erhält man immerhin asymptotische Erwartungstreue.
13.07.2014, 10:15	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank HAL 9000, habe es gerade in einem alten Thread von dir nachgelesen

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