Funktion stetig in a

13.07.2014, 14:32	Dr.Doom	Auf diesen Beitrag antworten »
Funktion stetig in a Tach, ich habe die Aufgabe: Ist die folgende Funktion stetig in $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ ? $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{1}{x^2+1} \end{eqnarray}$ ist sie auch gleichmäßig stetig? Ich denke man muss es mit dem epsilon delta Kriterium der Stetigkeit zeigen? Mein Ansatz. Sei $\begin{eqnarray} \epsilon>0 \end{eqnarray}$ dann exisitiert zu jedem $\begin{eqnarray} \epsilon>0 \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} \delta>0 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \|f(x)-f(a)\|<\epsilon \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x\in D: \|x-a\|<\delta \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} \|f(x)-f(a)\|=\|\frac{1}{x^2+1}-\frac{1}{a^2+1}\|=\frac{\|x-a\|\|a+x\|}{\|x^2+1\|\|a^2+1\|}<\frac{\|x-a\|}{\|a^2+1\|}<\frac{\delta}{\|a^2+1\|}<\delta=\epsilon \end{eqnarray}$ . Also würde ich sagen $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ist stetig und auch gleichmäßig stetig. Habe ich das richtig gemacht?
13.07.2014, 14:44	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, nur sollte es besser $\begin{eqnarray} \|f(x)-f(a)\|=\|\frac{1}{x^2+1}-\frac{1}{a^2+1}\|=\frac{\|x-a\|\|a+x\|}{\|x^2+1\|\|a^2+1\|}\leq\frac{\|x-a\|}{\|a^2+1\|}<\frac{\delta}{\|a^2+1\|}\leq\delta=\epsilon \end{eqnarray}$ heißen.
13.07.2014, 14:48	Dr.Doom	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar, besten Dank!

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