Reihenkonvergenz

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pixxel Auf diesen Beitrag antworten »
Reihenkonvergenz
Meine Frage:

Untersuchen Sie folgende Reihen auf Konvergenz, bei (e) ist zu bestimmen, für welche x aus R Konvergenz und für welche x aus R Divergenz vorliegt.

e)

Meine Ideen:
Naja.. normalerweise würde ich jetzt das Quotientenkriterium anwenden, aber ich weiß nicht inwiefern mir das dann hilft für bestimmte x Konvergenz und Divergenz herauszufinden...
Ploki Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reihenkonvergenz
Hallo pixxel!

Das funktioniert auch so. Wende zuerst mal das Quotientenkriterium an und versuche den Ausdruck so gut wie möglich zu vereinfachen. Danach musst du dir nur überlegen, für welche x dein Ausdruck größer bzw. kleiner 1 wird.

lg Ploki
pixxel Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reihenkonvergenz
hey du.

also dann so:



ich kann es irgendwie nicht noch mehr vereinfachen..

also jetzt hab ich das so...

muss ich jetzt konkrete x angeben?

ist bestimmt falsch:


für ist der Ausdruck divergent
für ist der Ausdruck konvergent gegen 0
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reihenkonvergenz
Wie lautet denn die Aussage, die das Quotientenkriterium macht?

Im übrigen haben die Äquivalenzpfeile zwischen den Termen nichts verloren. Da gehören Gleichheitszeichen hin.

Ich schieb das mal in den Hochschulbereich.

EDIT: ich habe nicht gesehen, daß ploki da ist. Ich bin dann wieder raus.
Ploki Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reihenkonvergenz
Wie kommst du drauf, dass der Ausdruck für x < 1 divergent ist?


Ich schlage vor, du betrachtest 2 Fälle:

und .

Was passiert mit dem Zähler in Fall 1?
pixxel Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reihenkonvergenz
Zitat:
Original von klarsoweit
Im übrigen haben die Äquivalenzpfeile zwischen den Termen nichts verloren. Da gehören Gleichheitszeichen hin.


UPSI!


Zitat:
Original von klarsoweit
Wie lautet denn die Aussage, die das Quotientenkriterium macht?



öhm
Reihe konvergiert absolut
keine Aussage
Reihe divergiert

HAHAHAH lache über meine dummheit..

ähm.

also ich soll ja gucken ob es konvergiert oder divergiert.. da is also das QK eine gute Wahl..

wenn wird der Zähler immer größer.
 
 
pixxel Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reihenkonvergenz
achso ne. der wird kleiner......
Ploki Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reihenkonvergenz
ja der Zähler wird kleiner als der Nenner, und zwar für alle k. Damit kannst du den gesamten Ausdruck nach oben abschätzen, nämlich mit was?
pixxel Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reihenkonvergenz
öhm...

ich weiß es nicht. habe mit abschätzungen so meine probleme..
ich muss halt irgendwie so abschätzen

dass

< als irgendwas wird..

oder?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reihenkonvergenz
OK. Und was könnte wohl das "irgendwas" sein? (Siehe Quotientenkriterium)
pixxel Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reihenkonvergenz
< 1?


-.-
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reihenkonvergenz
Richtig. Augenzwinkern
Da die Ungleichung für fast alle k gelten muß, bildet man auf der linken Seite den Grenzwert für k gegen unendlich.

(Ich habe auch mal die fehlenden Betragsstriche ergänzt.)
pixxel Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reihenkonvergenz
also ist für

mein Ausdruck absolut konvergent oder was?
pixxel Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reihenkonvergenz
und für wird mein Zähler immer größer und damit auch der gesamte Ausdruck(?)

und dann muss ich nach unten(?) abschätzen? und dann divergiert die Reihe für x > 1?

oder überleg ich mir das mal wieder alles zu einfach Prost
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reihenkonvergenz
Zitat:
Original von pixxel
also ist für

mein Ausdruck absolut konvergent oder was?

Wo nimmst du das Gleichheitszeichen her? verwirrt
pixxel Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reihenkonvergenz
öhm.. von Ploki der sagte, dass ich zwei Fälle betrachten soll unglücklich
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reihenkonvergenz
Es geht doch jetzt darum, was man aus der Bedingung des Quotientenkriteriums ableitet. Und dieses besagt nun, daß für |x| < 1 Konvergenz und für |x| > 1 Divergenz vorliegt.

Es bleibt noch der Fall |x| = 1, wo das Quotientenkriterium keine Aussage macht und somit die Reihe separat nochmal mit anderen Kriterien untersucht werden muß.
Ploki Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reihenkonvergenz
Zitat:
Original von klarsoweit
Es geht doch jetzt darum, was man aus der Bedingung des Quotientenkriteriums ableitet. Und dieses besagt nun, daß für |x| < 1 Konvergenz und für |x| > 1 Divergenz vorliegt.

Es bleibt noch der Fall |x| = 1, wo das Quotientenkriterium keine Aussage macht und somit die Reihe separat nochmal mit anderen Kriterien untersucht werden muß.


Das verstehe ich nun auch nicht. Falls der Ausdruck , herrscht absolute Konvergenz. Falls , herrscht Divergenz. Warum sollte für x = 1 die Reihe nicht konvergieren? So wie ich das sehe, konvergiert die Reihe auch für x = 1.

Für |x| > 1, müssen wir es uns noch überlegen.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reihenkonvergenz
Für |x| > 1 gibt es nichts zu überlegen, da ist die Reihe divergent. Das ergibt sich aus dem Quotientenkriterium.

Und daß die Reihe für |x|=1 konvergiert, ist zwar richtig, muß aber extra bewiesen werden. Das Quotientenkriterium hilft in diesem Fall nicht.

Zitat:
Original von Ploki
Warum sollte für x = 1 die Reihe nicht konvergieren?

Wo habe ich das behauptet?
Ploki Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reihenkonvergenz
Tut mir Leid. Da hab ich dich wohl missverstanden.

Nun zurück zu dir, pixxel Augenzwinkern

Für den Fall |x| = 1 hilft das Quotientenkriterium also nicht weiter. Mein Tipp wäre das Majorantenkriterium.
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